20. জ্যামিতিক প্রমাণ | কষে দেখি 20.2 | Exercise 20.2 | Ganit Prabha Class VIII math solution | WBBSE Class 8 Math Solution in Bengali
গণিত প্রভা VIII কষে দেখি 20.2 সমাধান
1. নীচের বহুভুজগুলির অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি লিখি-
(i) পঞ্চভুজ (ii) ষড়ভুজ (iii) সপ্তভুজ (iv) অষ্টভুজ (v) দশভুজ (vi) বহুভুজ যার বাহুসংখ্যা 12
সমাধানঃ
(i) পঞ্চভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(5-2) সমকোণ
= 6 সমকোণ
= 6×90°
= 540°
(ii) ষড়ভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(6-2) সমকোণ
= 8 সমকোণ
=8×90°
=720°
(iii) সপ্তভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(7-2) সমকোণ
= 10 সমকোণ
=10×90°
= 900°
(iv) অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(8-2) সমকোণ
= 12 সমকোণ
= 12×90°
= 1080°
(v) দশভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(10-2) সমকোণ
= 16 সমকোণ
= 16×90°
= 1440°
(vi) যে বহুভুজের বাহুসংখ্যা 12 সেই বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(12-2) সমকোণ
= 20 সমকোণ
= 20×90°
= 1800°
2. একটি চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে 104.5°,65° এবং 72.5°; চতুর্থ কোণটির পরিমাপ লিখি।
সমাধানঃ
চতুর্ভুজের চারটি অন্তঃকোণের সমষ্টি
= 2(4-2) সমকোণ
= 4 সমকোণ
= 4 × 90°
= 360°
ধরি, চতুর্থ কোণটির পরিমাপ x
∴ 104.5°+65°+72.5°+x=360°
বা, 242°+x=360°
বা, x=360°-242°
∴ x=118°
∴ চতুর্থ কোণটির পরিমাপ 118°
3. একটি পঞ্চভুজের চারটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে 65°, 89°, 132° এবং 116°; পঞ্চম কোণটির পরিমাপ লিখি।
সমাধানঃ
পঞ্চভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(5-2) সমকোণ
= 6 সমকোণ
= 6 × 90°
= 540°
ধরি, পঞ্চম কোণটির পরিমাপ x
∴ 65°+89°+132°+116°+x = 540°
বা, 402°+x = 540°
বা, x = 540°-402°
∴ x = 138°
4. একটি কুব্জ চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে 68°,70° ও 75° হতে পারে কিনা লিখি।
সমাধানঃ
চতুর্ভুজের চারটি অন্তঃকোণের সমষ্টি
= 2(4-2) সমকোণ
= 2 × 2 সমকোণ
= 4 সমকোণ
= 4 × 90°
= 360°
∴ চতুর্থ কোণটির পরিমাপ
= 360°-(68°+70°+75°)
= 360°-213°
= 147° < 180°
সুতরাং, কুব্জ চতুর্ভুজের তিনটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে 68°,70° ও 75° হতে পারে ।
5. একটি কুব্জ ষড়ভুজের পাঁচটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে 120°,70°,95°, 78° এবং 160° হতে পারে কিনা লিখি।
সমাধানঃ
ষড়ভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(6-2) সমকোণ
= 8 সমকোণ
= 8 × 90°
= 720°
ষড়ভুজের ষষ্ঠ কোণটির পরিমাপ
= 720°-(120°+70°+95°+78°+160°)
= 720°-523°
= 197° > 180°
∴ ষড়ভুজের পাঁচটি কোণের পরিমাপ যথাক্রমে 120°,70°,95°,78°
এবং 160° হতে পারে না।
6. নীচের সুষম বহুভুজগুলির প্রতিটি অন্তঃকোণ ও প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ লিখি-
(i) পঞ্চভুজ (ii) ষড়ভুজ (iii) অষ্টভুজ
(iv) বহুভুজের বাহুসংখ্যা 9 টি
(v) বহুভুজের বাহুসংখ্যা 10 টি
(vi) বহুভুজের বাহুসংখ্যা 18 টি
সমাধানঃ
(i)
পঞ্চভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(5-2) সমকোণ
= 6 সমকোণ
= 6 × 90°
= 540°
∴ প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ
\(=\frac{540°}{5}=108°\)
যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণ +1 টি বহিঃকোণ =180°
∴ 1 টি বহিঃকোণের পরিমাপ = 180°-108° = 72°
(ii)
ষড়ভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(6-2) সমকোণ
= 8 সমকোণ
= 8 × 90°
= 720°
∴ প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ
\(=\frac{720°}{6}=120°\)
যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণ +1 টি বহিঃকোণ =180°
∴ 1 টি বহিঃকোণের পরিমাপ =180°-120°=60°
(iii)
অষ্টভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(8-2) সমকোণ
= 12 সমকোণ
= 12 × 90°
= 1080°
∴ প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ
\(=\frac{1080°}{8}=135°\)
যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণ +1 টি বহিঃকোণ =180°
∴ 1 টি বহিঃকোণের পরিমাপ =180°-135°=45°
(iv) যে বহুভুজের বাহুসংখ্যা 9 সেই বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(9-2) সমকোণ
= 2 × 7 সমকোণ
= 14 সমকোণ
= 14 × 90°
= 1260°
∴ প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ
\(=\frac{1260°}{9}=140°\)
যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণ +1 টি বহিঃকোণ =180°
∴ 1 টি বহিঃকোণের পরিমাপ =180°-140°=40°
(v) যে বহুভুজের বাহুসংখ্যা 10 সেই বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(10-2) সমকোণ
= 16 সমকোণ
= 16 × 90°
= 1440°
∴ প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ
\(=\frac{1440°}{10}=144°\)
যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণ +1 টি বহিঃকোণ =180°
∴ 1 টি বহিঃকোণের পরিমাপ =180°-144°=36°
(vi)
যে বহুভুজের বাহুসংখ্যা 18 সেই বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(18-2) সমকোণ
= 32 সমকোণ
= 32 × 90°
= 2880°
∴ প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ
\(=\frac{2880°}{10}=160°\)
যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণ +1 টি বহিঃকোণ =160°
∴ 1 টি বহিঃকোণের পরিমাপ =180°-160°=20°
7. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ নিম্নলিখিত পরিমাপগুলির হতে পারে কিনা(হ্যা/না) লিখি
(i) 6° (ii) 10° (iii) 13° (iv) 18° (v) 35°
(i) বহুভুজটির বাহুসংখ্যা
\(=\frac{360}{6}=60\)
উত্তরঃ হ্যাঁ
(ii) বহুভুজটির বাহুসংখ্যা
\(=\frac{360}{10}=36\)
উত্তরঃ হ্যাঁ
(iii) বহুভুজটির বাহুসংখ্যা
\(=\frac{360}{13}=27\frac{9}{13}\)
উত্তরঃ না
[যেহেতু, বাহুসংখ্যা কখনও ভগ্নাংশ হতে পারে না]
(iv) বহুভুজটির বাহুসংখ্যা
\(=\frac{360}{{18}=20\)
উত্তরঃ হ্যাঁ
(v) বহুভুজটির বাহুসংখ্যা
\(=\frac{360}{35}=10\frac{10}{35}\)
উত্তরঃ না
[যেহেতু, বাহুসংখ্যা কখনও ভগ্নাংশ হতে পারে না]
8. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ নিম্নলিখিত পরিমাপগুলি হতে পারে কিনা (হ্যা/না) লিখি
(i) 80° (ii) 100° (iii) 120°
(iv) 144° (v) 155° (vi) 160°
(i) যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণ +1 টি বহিঃকোণ =180°
একটি অন্তঃকোণ =80° হলে,
1 টি বহিঃকোণ =180°-80°= 100°
বহুভুজটির বাহুসংখ্যা
\(=\frac{360}{100}=3.6\)
উত্তরঃ না
[যেহেতু, বাহুসংখ্যা কখনও দশমিক হতে পারে না]
(ii) যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণ +1 টি বহিঃকোণ =180°
একটি অন্তঃকোণ =100° হলে,
1 টি বহিঃকোণ =180°-100°= 80°
বহুভুজটির বাহুসংখ্যা
\(=\frac{360}{80}=4.5\)
উত্তরঃ না
[যেহেতু, বাহুসংখ্যা কখনও দশমিক হতে পারে না]
(iii) যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণ +1 টি বহিঃকোণ =180°
একটি অন্তঃকোণ =120° হলে,
1 টি বহিঃকোণ =180°-120°=60°
বহুভুজটির বাহুসংখ্যা
\(=\frac{360}{60}=6\)
উত্তরঃ হ্যাঁ
(iv) যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণ +1 টি বহিঃকোণ =180°
একটি অন্তঃকোণ =144° হলে,
1 টি বহিঃকোণ =180°-144°= 36°
বহুভুজটির বাহুসংখ্যা
\(=\frac{360}{36}=10\)
উত্তরঃ হ্যাঁ
(v) যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণ +1 টি বহিঃকোণ =180°
একটি অন্তঃকোণ =155° হলে,
1 টি বহিঃকোণ =180°-155°=25°
বহুভুজটির বাহুসংখ্যা
\(=\frac{360}{45}=14.4\)
উত্তরঃ না
[যেহেতু, বাহুসংখ্যা কখনও দশমিক হতে পারে না]
(vi) যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণ +1 টি বহিঃকোণ =180°
একটি অন্তঃকোণ =160° হলে,
1 টি বহিঃকোণ =180°-160°=20°
বহুভুজটির বাহুসংখ্যা
\(=\frac{360}{20}=18\)
উত্তরঃ হ্যাঁ
9. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ 60°; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।
সমাধানঃ
সুষম বহুভুজের প্রতিটি বহিঃকোণের পরিমাপ 60°
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা
\(=\frac{360}{60}=6\) টি
10. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ 135°; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।
সমাধানঃ
যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণ +1 টি বহিঃকোণ =180°
একটি অন্তঃকোণ =135° হলে,
1 টি বহিঃকোণ =180°-135°= 45°
বহুভুজটির বাহুসংখ্যা
\(=\frac{360}{45}=8\) টি
11. একটি সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তকোণ ও বহিঃকোণের পরিমাপের অনুপাত 3:2, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, প্রতিটি অন্তঃকোণ = 3x এবং প্রতিটি বহিঃকোণ = 2x
যেহেতু, 1 টি অন্তঃকোণ +1 টি বহিঃকোণ = 180°
∴ \(3x+2x=180°\)
বা, \(5x=180°\)
বা, \(x=\frac{180°}{5}\)
∴ \(x=36°\)
∴ প্রতিটি অন্তঃকোণ =3×36° = 108°
এবং প্রতিটি বহিঃকোণ =2×36°=72°
12. একটি বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি 1800°; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা n
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(n-2) সমকোণ
= 2(n-2)×90°
শর্তানুসারে,
\(2(n-2)\times90=1800\)
বা, \(n-2=\frac{1800}{2\times90}\)
বা, \(n-2=10\)
বা, \(n=10+2\)
∴ \(n=12\)
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা 12
13.একটি বহুভুজের পাঁচটি অন্তঃকোণের প্রতিটির পরিমাপ 172° এবং অপর অন্তকোণগুলির প্রতিটির পরিমাপ 160°; বহুভুজটির বাহুসংখ্যা লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা =n
n সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
= 2(n-2) সমকোণ
=2(n-2)×90°
5 টি অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি = 5×172° = 860°
বাকি অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি = (n-5)×160°
শর্তানুসারে,
860+(n-5)×160=2(n-2)×90
বা, 860+160n-800=180n-360
বা, 160n+60=180n-360
বা, 160n-180n=-360-60
বা, -20n=-420
বা, 20n=420
∴ n=21
∴ বহুভুজটির বাহুসংখ্যা 21
14. প্রমাণ করি যে, একটি চতুর্ভুজের যে কোনো দুটি সন্নিহিত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের দ্বারা উৎপন্ন কোণ চতুর্ভুজের অপর কোণদ্বয়ের সমষ্টির অর্ধেক।
প্রদত্তঃ ABCD চতুর্ভুজের \(\angle BAD\) ও \(\angle ABC\) এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডক AO এবং BO পরস্পরকে O
বিন্দুতে ছেদ করেছে। ফলে \(\angle AOB\) কোণ উৎপন্ন হল।
প্রামাণ্যঃ \(\angle AOB=\frac{1}{2}(\angle BCD+\angle ADC)\)
প্রমাণঃ
\(\angle BAD\) এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডক AO
∴ \(\angle BAO=\frac{1}{2}\angle BAD\)
\(\angle ABC\) এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডক BO
∴ \(\angle ABO=\frac{1}{2}\angle ABC\)
ABCD চতুর্ভুজ থেকে পাই,
\(\angle BAD+\angle ABC+\angle ADC\)
\(+\angle BCD=360°\)
∆AOB থেকে পাই,
\(\angle BAO+\angle ABO+\angle AOB=180°\)
বা, \(\frac{1}{2}\angle BAD+\frac{1}{2}\angle ABC+\angle AOB=180°\)
বা, \(\frac{1}{2}(\angle BAD+\angle ABC)+\ \angle AOB=180°\)
বা, \(\frac{1}{2}(360°-∠ADC-∠BCD)\)\(+ ∠AOB=180°\)
বা, \(180°-12(∠ADC+∠BCD)\)\(+ ∠AOB=180°\)
বা, \(\angle AOB=180°-180°\)\(+12(∠ADC+∠BCD) \)
∴ \(\angle AOB=\frac{1}{2}(\angle BCD+\angle ADC)\) [প্রমাণিত]
15. ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ। প্রমাণ করি যে ∆ABC সমদ্বিবাহু এবং BE ও CD সমান্তরাল সরলরেখাংশ।
প্রদত্তঃ
ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ। AC ও BE পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্যঃ
(i) ∆ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
(ii) BE||CD
প্রমাণঃ
ABCDE একটি সুষম পঞ্চভুজ
∴ AB=BC=CD=DE=EA
∆ABC এর AB=BC
∴ ∆ABC হল একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ [(i)নং প্রমাণিত]
পঞ্চভুজের পাঁচটি অন্তঃকোণের সমষ্টি \(=2(5-2)\times90°\)\(=540°\)
∴ প্রতিটি অন্তঃকোণের মান \(=\frac{540°}{5}=108°\)
∴ \(\angle ABC=\angle BCD=\angle CDE\)
\(=\angle AED=\angle BAE=108°\)
∆ABE এর AB=AE
∴ \(\angle AEB=\angle ABE\)
∆ABE থেকে পাই,
\(\angle ABE\ +\angle AEB+\angle BAE=180°\)
বা, \(2\angle ABE+\angle BAE=180°\)
বা, \(2\angle ABE+108°=180°\)
বা, \(2\angle ABE=180°-108°\)
∴ \(\angle ABE=\frac{72°}{2}=36°\)
\(\angle EBC=\angle ABC-\angle ABE\)
\(=108°-36° =72°\)
\(\angle EBC+\angle BCD\)
\(=72°+108°=180°\)
এখানে, BE ও CD দুটি সরলরেখা এবং CB ভেদক।
একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ \(\angle EBC\) ও \(\angle BCD\) এর সমষ্টি 180°
∴ BE||CD [(ii)নং প্রমাণিত]
16. ABCDEF একটি সুষম ষড়ভুজ। \(\angle BAF\) এর সমদ্বিখণ্ডক DE\ কে X বিন্দুতে ছেদ করে। \(\angle AXD\) এর পরিমাপ লিখি।
ষড়ভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
\(=2(6-2)\times90°=720°\)
∴ প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাপ
\(=\frac{720°}{6}=120°\)
∴ \(\angle ABC=\angle BCD=\angle CDE\)
\(=\angle DEF=\angle AFE=\angle BAF=120°\)
\(\angle BAF\) এর সমদ্বিখণ্ডক AX
∴ \(\angle BAX=\frac{120°}{2}=60°\)
ABCDX পঞ্চভুজের
\(\angle ABC=\angle BCD=\angle CDX=120°\)
এবং \(\angle ABX=60\)°
ABCDE পঞ্চভুজের
\(\angle ABC+\angle BCD+\angle CDX+\angle ABX\)
= 120°+120°+120°+60°
= 420°
পঞ্চভুজের অন্তঃকোণগুলির সমষ্টি
\(=2(5-2)\times90°=540°\)
∴ পঞ্চম কোণ \(\angle AXD\) = 540°-420° = 120°
0 Comments