25. ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রয়োগঃ উচ্চতা ও দূরত্ব । কষে দেখি 25 | Exercise 25 solution | গণিত প্রকাশ X সমাধান | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
কষে দেখি 25 সমাধান
1. একটি নারকেল গাছের গোড়া থেকে অনুভূমিক তলে 20 মিটার দূরের একটি বিন্দুর সাপেক্ষে গাছটির অগ্রভাগের উন্নতি কোণ যদি 60° হয়, তাহলে গাছটির উচ্চতা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
নারকেল গাছের গোড়া B বিন্দু থেকে 20 মিটার দূরে C একটি বিন্দু।
∴ BC=20 মিটার
C বিন্দুর সাপেক্ষে গাছের অগ্রভাগ A বিন্দুর উন্নতি কোণ 60°
∴ \(\angle ACB=60°\)
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
\(tan\angle ACB=tan60°=\frac{AB}{BC}=\frac{x}{20}\)
বা, \(tan60°=\frac{x}{20}\)
বা, \(\sqrt3=\frac{x}{20}\)
∴ \(x=20\sqrt3\)
∴ নারকেল গাছের উচ্চতা \(20\sqrt3\) মিটার।
2. সূর্যের উন্নতি কোণ যখন 30° তখন একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য 9 মিটার হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, AB = একটি স্তম্ভের দৈর্ঘ্য = x মিটার
স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য, BC=9 মিটার
C বিন্দুর সাপেক্ষে A বিন্দুর উন্নতি কোণ 30°
∴ \(\angle ACB=30°\)
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
\(tan\angle ACB = \frac{AB}{BC}\)
বা, \(tan30°=\frac{x}{9}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt 3}=\frac{x}{9}\)
বা, \(x\sqrt 3=9\)
বা, \(x=\frac{9}{\sqrt 3}\)
বা, \(x=\frac{9\times \sqrt 3}{\sqrt 3 \times \sqrt 3}\)
∴ \(x=3 \sqrt 3\)
3. 150 মি. লম্বা সুতো দিয়ে একটি মাঠ থেকে ঘুড়ি ওড়ানো হয়েছে। ঘুড়িটি যদি অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে উড়তে থাকে, তাহলে ঘুড়িটি মাঠ থেকে কত উঁচুতে রয়েছে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, C বিন্দু থেকে 60° কোণ করে ঘুড়িটি A বিন্দুতে উড়ছে।
∴ \(\angle ACB=60°\) এবং AC= সুতোর দৈর্ঘ্য =150 মি.
ধরি, ঘুড়িটির উচ্চতা, AB = x মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
\(sin60°=\frac{AB}{AC}\)
বা, \(\frac{\sqrt 3}{2}=\frac{x}{150}\)
বা, \(2x=150\sqrt 3\)
∴ \(x=75\sqrt 3\)
∴ ঘুড়িটি মাঠ থেকে \(75\sqrt3\) মিটার উঁচুতে রয়েছে।
4. একটি নদীর একটি পাড়ের একটি তালগাছের সোজাসুজি অপর পাড়ে একটি খুঁটি পুঁতলাম। এবার নদীর পাড় ধরে ওই খুঁটি থেকে \(7\sqrt3\) মিটার সরে গিয়ে দেখছি নদীর পাড়ের পরিপ্রেক্ষিতে গাছটির পাদদেশ 60° কোণে রয়েছে। নদীটি কত মিটার চাওড়া নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
∴ \(BC=7\sqrt3\) মিটার
C বিন্দুর সাপেক্ষে A বিন্দুটি 60° কোণে রয়েছে।
∴ \(\angle ACB=60°\)
ধরি, নদীটি x মিটার চাওড়া। ∴ AB = x মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
\(tan60°=\frac{AB}{BC}\)
বা, \(\sqrt 3=\frac{x}{7 \sqrt 3}\)
∴ \(x=21\)
∴ নদীটি 21 মিটার চাওড়া।
5. ঝড়ে একটি টেলিগ্রাফ পোষ্ট মাটি থেকে কিছু উপরে মচকে যাওয়ায় তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে \(8\sqrt3\) মিটার দূরে মাটি স্পর্শ করেছে এবং অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে। পোষ্টটি মাটি থেকে কত উপরে মচকে ছিল এবং পোষ্টটির উচ্চতা কত ছিল হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
∴ AO=OC=x মিটার (ধরি)
∴ AB=AO+OB=CO+OB
OBC একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়েছে যার \(\angle B=90°\)
\(BC=8\sqrt3\) মিটার ও OC=x মি.
সমকোণী ∆OBC -তে
\(cos30°=\frac{BC}{OC}=\frac{8\sqrt3}{x}\)
বা, \(\frac{\sqrt3}{2}=\frac{8\sqrt3}{x}\)
বা, \(\frac{1}{2}=\frac{8}{x}\)
∴ \(x=16\)
∴ OC=16 মিটার
ধরি, OB = y মিটার
সমকোণী ∆OBC -তে
\(sin30°=\frac{OB}{OC}=\frac{y}{16}\)
বা, \(\frac{1}{2}=\frac{y}{16}\)
বা, \(2y=16\)
∴ \(y=8\)
∴ OB=8 মিটার
∴ পোষ্টটি মাটি 8 মিটার উপরে মচকে ছিল
এবং পোষ্টটির উচ্চতা ছিল =(16+8) মিটার =24 মিটার
6. আমাদের পাড়ায় রাস্তার দু-পাশে পরস্পর বিপরীত দিকে দুটি বাড়ি আছে। প্রথম বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে 6\ মিটার দূরে একটি মই এর গোড়া রেখে যদি মইটিকে দেয়ালে ঠেকানো যায়, তবে তা অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করে। কিন্তু মইটিকে যদি একই জায়গায় রেখে দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালে লাগানো যায়, তাহলে অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ উৎপন্ন করে।
(i) মইটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
(ii) দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে মইটির গোড়া কত দূরে রয়েছে হিসাব করে লিখি।
(iii) রাস্তাটি কত চাওড়া নির্ণয় করি।
(iv) দ্বিতীয় বাড়ির কত উঁচুতে মইটির অগ্রভাগ স্পর্শ করবে নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, AB ও CD হল যথাক্রমে দুটি বাড়ির দেওয়াল।
প্রথম বাড়ি AB এর গোড়া B বিন্দু থেকে 6 মিটার দূরে O বিন্দুতে মইটির গোড়া রেখে মইটিকে প্রথম বাড়ির দেওয়ালে ঠেকালে তা M বিন্দুতে এবং দ্বিতীয় বাড়ির দেওয়ালে ঠেকালে তা N বিন্দুতে স্পর্শ করে।
∴ BO=6 মিটার,
\(\angle BOM=30°\) এবং \(\angle DON=60°\)
(i) ধরি, মইয়ের দৈর্ঘ্য = OM = ON = x মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ MBO থেকে পাই,
\(cos30°=\frac{BO}{OM}\)
বা, \(\frac{\sqrt3}{2}=\frac{6}{x}\)
বা, \(x\sqrt3=12\)
বা, \(x=\frac{12}{\sqrt3}\)
বা, \(x=\frac{12\times \sqrt3}{\sqrt3\times \sqrt3}\)
∴ \(x=4\sqrt3\)
∴ মইয়ের দৈর্ঘ্য = \(4\sqrt3\) মিটার
(ii) ধরি, OD=y মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ NDO থেকে পাই,
\(cos60°=\frac{OD}{ON}\)
বা, \(\frac{1}{2}=\frac{y}{4\sqrt3}\)
বা, \(2y=4\sqrt3\)
∴ \(y=2\sqrt3\)
∴ দ্বিতীয় বাড়ির দেয়ালের গোড়া থেকে মইটির গোড়া \(2\sqrt3\) মিটার দূরে রয়েছে।
(iii) BD=BO+DO=\((6+2\sqrt3)\) মিটার =\(2(3+\sqrt3)\) মিটার
∴ রাস্তাটি \(2(3+\sqrt3)\) মিটার চওড়া।
(iv) ধরি, DN = z মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ NDO থেকে পাই,
\(tan60°=\frac{DN}{OD}\)
বা, \(\sqrt3=\frac{z}{2\sqrt3}\)
বা, \(z=2\sqrt3\times \sqrt3\)
∴ \(z=6\)
∴ দ্বিতীয় বাড়ির 6 মিটার উঁচুতে মইটির অগ্রভাগ স্পর্শ করবে।
7. যদি একটি চিমনির গোড়ার সঙ্গে সমতলে অবস্থিত একটি বিন্দুর সাপেক্ষে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হয় এবং সেই বিন্দু ও চিমনি গোড়ার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত ওই বিন্দু থেকে আরও 24 মিটার দূরের অপর একটি বিন্দুর সাপেক্ষে চিমনির চূড়ার উন্নতি কোণ 30° হয়, তাহলে চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
[\(\sqrt3\) এর আসন্নমান 1.732 ধরে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্নমান নির্ণয় করি]
সমাধানঃ
ধরি, AB চিমনির উচ্চতা =x মিটার
চিমনির গোড়া B বিন্দু থেকে একই সমতলে অবস্থিত একটি বিন্দু C বিন্দুর সাপেক্ষে চিমনির চূড়া A বিন্দুর উন্নতি কোণ 60°
\(\angle ACB=60°\)
Cবিন্দু থেকে 24 মিটার দূরে একই সমতলে অবস্থিত অপর একটি বিন্দু D বিন্দুর সাপক্ষে A বিন্দুর উন্নতি কোণ 30°
∴ CD=24 মিটার এবং \(\angle ADB=30°\)
ধরি, BC=y মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
\(tan60°=\frac{AB}{BC}\)
বা, \(\sqrt3=\frac{x}{y}\)
∴ \(y=\frac{x}{\sqrt3}\)
সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
\(tan30°=\frac{AB}{BD}=\frac{AB}{BC+CD}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{x}{y+24}\)
বা, \(\sqrt3x=y+24\)
বা, \(\sqrt3x=\frac{x}{\sqrt3}+24\)
বা, \(\sqrt3x-\frac{x}{\sqrt3}=24\)
বা, \(\frac{3x-x}{\sqrt3}=24\)
বা, \(2x=24\sqrt3\)
∴ \(x=\frac{24\sqrt3}{2}\)
\(=12\sqrt3=12\times1.732=20.784\)
∴ চিমনির উচ্চতা 20.784 মিটার
8. সূর্যের উন্নতি কোণ 45° থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60° হলে, একটি খুঁটির ছায়ার দৈর্ঘ্য 3 মিটার কমে যায়। খুটিটির উচ্চতা নির্ণয় করি।
[\(\sqrt3=1.732\) ধরে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্নমান নির্ণয় করি]
সমাধানঃ
ধরি, AB খুটির উচ্চতা =x মিটার
খুটির ছায়ার দৈর্ঘ্য BD হলে সূর্যের উন্নতি কোণ 45°
∴ \(\angle ADB=45°\)
আবার খুটির ছায়ার দৈর্ঘ্য BC হলে সূর্যের উন্নতি কোণ হয় 60°
∴ \(\angle ACB=60°\)
ছায়ার দৈর্ঘ্য BD থেকে কমে BC হল। ∴ CD=3 মিটার
ধরি, BC=y মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
\(tan60°=\frac{AB}{BC}\)
বা, \(\sqrt3=\frac{x}{y}\)
∴ \(y=\frac{x}{\sqrt3}\)
সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
\(tan45°=\frac{AB}{BD}=\frac{AB}{BC+CD}\)
বা, \(1=\frac{x}{y+3}\)
বা, \(x=y+3\)
বা, \(x=\frac{x}{\sqrt3}+3\)
বা, \(x-\frac{x}{\sqrt3}=3\)
বা, \(\frac{\sqrt3x-x}{\sqrt3}=3\)
বা, \(\frac{x(\sqrt3-1)}{\sqrt3}=3\)
∴ \(x=\frac{3\sqrt3}{\sqrt3-1}\)
\(=\frac{3\sqrt3\left(\sqrt3+1\right)}{\left(\sqrt3-1\right)\left(\sqrt3+1\right)}\)
\(=\frac{9+3\sqrt3}{\left(\sqrt3\right)^2-\left(1\right)^2}\)
\(=\frac{9+3\times1.732}{3-1}\)
\(=\frac{9+5.196}{2}=\frac{14.196}{2}=7.098\)
∴ চিমনির উচ্চতা 7.098 মিটার
9. \(9\sqrt3\) মিটার উঁচু তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে দেখলে 30 মিটার দূরে অবস্থিত একটি কারখানার চিমনির উন্নতি কোণ 30° হয়। চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, CD চিমনির উচ্চতা =x মিটার
AB হল \(9\sqrt3\) মিটার উচু তিনতলা বাড়ি বাড়ির ছাদ A বিন্দু থেকে চিমনির চূড়া C বিন্দুর উন্নতি কোণ 30°
∴ \(\angle PAC=30°\)
বাড়ি থেকে চিমনির দূরত্ব =BD=AP=30 মিটার
AB=PD=\(9\sqrt3\) মিটার
ধরি, CP=y মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ APC থেকে পাই,
\(tan30°=\frac{CP}{AP}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{y}{30}\)
বা, \(\sqrt3y=30\)
∴ \(y=\frac{30}{\sqrt3}=\frac{30\times\sqrt3}{\sqrt3\times\sqrt3}=\frac{30\sqrt3}{3}=10\sqrt3\)
∴ CD=CP+PD
=\((10\sqrt3+9\sqrt3)\) মিটার
\(=19\sqrt3\) মিটার
∴ চিমনির উচ্চতা \(19\sqrt3\) মিটার ।
10. একটি লাইট হাউস থেকে তার সঙ্গে একই সরলরেখায় অবস্থিত দুটি জাহাজের মাস্তুলের গোড়ার অবনতি কোণ যদি যথাক্রমে 60° ও 30° হয় এবং কাছের জাহাজের মাস্তুল যদি লাইট হাউস থেকে 150 মিটার দূরত্ব থাকে, তাহলে দূরের জাহাজের মাস্তুল লাইট হাউস থেকে কত দূরত্বে রয়েছে এবং লাইট হাউসটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, লাইট হাউসের উচ্চতা =x মিটার
লাইট হাউসের চূড়া A বিন্দু থেকে প্রথম মাস্তুলের গোড়া C বিন্দুর অবনতি কোণ 60° এবং দ্বিতীয় মাস্তুলের গোড়া D বিন্দুর অবনতি কোণ 30°
∴ \(\angle PAD=30°\) এবং \(\angle PAC=60°\) [ধরি, AP||BD]
\(\angle ADB=\)একান্তর\(∠PAD\) [\(\because\) AP||BD]
∴ \(\angle ADB=30°\)
\(\angle ACB=\) একান্তর \(∠PAC\) [\(\because\) AP||BD]
∴ \(\angle ACB=60°\)
লাইট হাউস থেকে কাছের জাহাজের মাস্তুলের দূরত্ব 150 মিটার
∴ BC=150 মিটার
ধরি, AB লাইট হাউসের উচ্চতা =x মিটার এবং BD=y মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
\(tan60°=\frac{AB}{BC}\)
বা, \(\sqrt3=\frac{x}{150}\)
∴ \(x=150\sqrt3\)
∴ \(AB=150\sqrt3\) মিটার,
সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
\(tan30°=\frac{AB}{BD}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{150\sqrt3}{y}\)
∴ \(y=150\sqrt3\times\sqrt3=450\)
∴ BD=450 মিটার
∴ লাইট হাউস থেকে দূরের জাহাজের মাস্তুলের দূরত্ব 450 মিটার
এবং লাইট হাউসের উচ্চতা 150\(\sqrt3\) মিটার
11. একটি পাঁচতলা বাড়ির ছাদের কোনো বিন্দু থেকে দেখলে মনুমেন্টের চূড়ার উন্নতি কোণ ও গোড়ার অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30°; বাড়িটির উচ্চতা 16 মিটার হলে, মনুমেন্টের উচ্চতা এবং বাড়িটি মনুমেন্ট থেকে কত দূরে অবস্থিত হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, AB হল পাঁচতলা বাড়ি এবং CD মনুমেন্টের উচ্চতা।
AB-এর A বিন্দু থেকে মনুমেন্টের চূড়ার C বিন্দুর উন্নতি কোণ 60° ও মনুমেন্টের পাদদেশ D বিন্দুর অবনতি কোণ 30°.
∴ \(\angle PAC=60°\)
এবং \(\angle PAD=30°\) [ধরি, AP||BD]
\(\angle PAD=\) একান্তর \(\angle ADB\) [\(\because\) AP||BD]
∴ \(\angle ADB=30°\)
ধরি, মনুমেন্টের উচ্চতা CD=x মিটার এবং BD=y মিটার=AP
AB=16 মিটার। সুতরাং, CP=(x-16) মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
\(tan30°=\frac{AB}{BD}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{16}{y}\)
∴ \(y=16\sqrt3\)
সমকোণী ত্রিভুজ APC থেকে পাই,
\(tan30°=\frac{CP}{AP}\)
বা, \(\sqrt3=\frac{x-16}{y}\)
বা, \(\sqrt3=\frac{x-16}{16\sqrt3}\)
বা, \(x-16=16\sqrt3\times\sqrt3\)
∴ \(x=48+16=64\)
∴ মনুমেন্টের উচ্চতা 64 মিটার এবং বাড়িটি মনুমেন্ট থেকে \(16\sqrt3\) মিটার দূরে অবস্থিত।
12. 250 মিটার লম্বা সুতো দিয়ে একটি ঘুড়ি উড়াচ্ছি। সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 60° কোণ করে থাকে এবং সুতোটি যখন অনুভূমিক রেখার সঙ্গে 45° কোণ করে তখন প্রতিক্ষেত্রে ঘুড়িটি আমার থেকে কত উপরে থাকবে হিসাব করে লিখি। এদের মধ্যে কোণ কোণ ক্ষেত্রে ঘুড়িটি বেশি উঁচুতে থাকবে নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, ঘুড়িটি C বিন্দু থেকে ঘুড়িটি উড়ানো হচ্ছে।
ঘুড়িটি যখন 60° কোণ করে থাকে তখন ঘুড়িটি A বিন্দুতে এবং ঘুড়িটি যখন 45° কোণ করে থাকে তখন ঘুড়িটি P বিন্দুতে উড়ছে।
∴ \(\angle ACB=60°\) এবং \(\angle PCQ=45°\)
উভয়ক্ষেত্রে সুতোর দৈর্ঘ্য =AC=PC=250 মিটার
ধরি, AB = x মিটার এবং PQ = y মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
\(sin60°=\frac{AB}{AC}\)
বা, \(\frac{\sqrt3}{2}=\frac{x}{250}\)
বা, \(2x=250\sqrt3\)
∴ \(x=125 \sqrt3\)
∴ AB=125\(\sqrt3\) মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ PQC থেকে পাই,
\(sin45°=\frac{PQ}{AC}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt2}=\frac{y}{250}\)
বা, \(y=\frac{250}{\sqrt2}\)
বা, \(y=\frac{250\sqrt 2}{2}\)
∴ \(y=125 \sqrt2\)
∴ PQ=125\(\sqrt2\) মিটার
∴ প্রথম ক্ষেত্রে ঘুড়িটি \(125\sqrt3\) মিটার উঁচুতে থাকবে এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে ঘুড়িটি \(125\sqrt2\) মিটার উঁচুতে থাকবে।
যেহেতু, \(125\sqrt3>125\sqrt2\)
তাই প্রথম ক্ষেত্রে ঘুড়িটি বেশি উঁচুতে থাকবে।
সমাধানঃ
ধরি, যাত্রীটি C বিন্দু থেকে হাওড়া স্টেশনটিকে A বিন্দুতে 60° অবনতি কোণে এবং বিপরীত পাশে শহিদ মিনারটিকে B বিন্দুতে 30° অবনতি কোণে দেখতে পান।
∴ \(\angle ACX=60°\) এবং \(\angle BCY=30°\) [ধরি, XY||AB]
\(\angle CAD=\)একান্তর \(\angle ACX=60°\) [∵ XY||AB]
\(\angle CBD=\)একান্তর \(\angle BCY=30°\) [∵ XY||AB]
উড়োজাহাজটির উচ্চতা, \(CD=545\sqrt3\) মিটার
ধরি, AD = x মিটার এবং BD=y মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ ADC তে
\(tan60°=\frac{CD}{AD}\)
বা, \(\sqrt3=\frac{545\sqrt 3}{x}\)
∴ \(x=545 \)
সমকোণী ত্রিভুজ BDC তে
\(tan30°=\frac{CD}{BD}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{545\sqrt 3}{y}\)
∴ \(y=545\sqrt3\times\sqrt3=1635\)
AB=AD+DC=(545+1635) মিটার =2180 মিটার
∴ হাওড়া স্টেশন ও শহিদ মিনারের দূরত্ব =2180 মিটার
14. একটি তিনতলা বাড়ির ছাদে 3.3 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি পতাকা আছে। রাস্তার কোনো এক স্থান থেকে দেখলে পতাকা দন্ডটির চূড়া ও পাদদেশের উন্নতি কোণ যথাক্রমে 50° ও 45° হয়। তিনতলা বাড়িটির উচ্চতা হিসাব করে লিখি। [ধরি, tan50°=1.192]
সমাধানঃ
ধরি, তিনতলা বাড়ির উচ্চতা =AC=x মিটার
রাস্তার উপর B বিন্দু থেকে পতাকা দন্ডটির চূড়া D বিন্দুর উন্নতি কোণ 50° এবং পতাকা দন্ডটির পাদদেশ C বিন্দুর উন্নতি কোণ 45°
∴ \(\angle ABC=45°\) এবং \(\angle ABD=50°\)
CD পতাকার দৈর্ঘ্য =3.3 মিটার
ধরি, AB=y মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
\(tan45°=\frac{AC}{AB}\)
বা, \(1=\frac{x}{y}\)
∴ \(y=x\)
AD=AC+CD=(x+3.3) মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ ABD থেকে পাই,
\(tan50°=ADAB\)
বা, \(1.192=\frac{x+3.3}{y}\)
বা, \(1.192y=x+3.3\)
বা, \(1.192x-x=3.3\)
বা, \(0.192x=3.3\)
∴ \(x=\frac{3.3}{0.192}=\frac{33\times1000}{192\times10}=17.19\) (প্রায়)
∴ তিনতলা বাড়িটির উচ্চতা 17.19 মিটার (প্রায়)
15. দুটি স্তম্ভের উচ্চতা যথাক্রমে 180 মিটার ও 60 মিটার। দ্বিতীয় স্তম্ভটির গোড়া থেকে প্রথমটির চূড়ার উন্নতি কোণ 60° হলে, প্রথমটির গোড়া থেকে দ্বিতীয়টির চূড়ার উন্নতি কোণ হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, প্রথম স্তম্ভের উচ্চতা =AB=180 মিটার
এবং দ্বিতীয় স্তম্ভের উচ্চতা =CD=60 মিটার
দ্বিতীয় স্তম্ভের গোড়া C বিন্দু থেকে প্রথম স্তম্ভের চূড়া A বিন্দুর উন্নতি কোণ 60°
∴ \(\angle ACB=60°\)
প্রথম স্তম্ভের গোড়া B বিন্দু থেকে দ্বিতীয় স্তম্ভের চূড়া D বিন্দুর উন্নতি কোণ
\(\angle CBD\)
ধরি, BC=x মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ ABC থেকে পাই,
\(tan60°=\frac{AB}{BC}\)
বা, \(\sqrt3=\frac{180}{x}\)
∴ \(x=\frac{180}{\sqrt3}\)
সমকোণী ত্রিভুজ CBD থেকে পাই,
\(tan\angle CBD=\frac{CD}{BC}\)
বা, \(tan\angle CBD= \frac{60}{\frac{180}{\sqrt3}}\)
বা, \(tan\angle CBD=60\times\frac{\sqrt3}{180}\)
বা, \(tan\angle CBD=\frac{\sqrt3}{3}\)
বা, \(tan\angle CBD=\frac{1}{\sqrt3}\)
বা, \(tan\angle CBD=tan30°\)
∴ \(\angle CBD=30°\)
∴ প্রথম স্তম্ভের গোড়া থেকে দ্বিতীয় স্তম্ভের চূড়ার উন্নতি কোণ 30°
16. সূর্যের উন্নতি কোণ 45° হলে, কোনো সমতলে অবস্থিত একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য যা হয়, উন্নতি কোণ 30° হলে, ছায়ার দৈর্ঘ্য তাঁর চেয়ে 60 মিটার বেশি হয়। স্তম্ভটির উচ্চতা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, AB স্তম্ভের উচ্চতা =x মিটার
সূর্যের উন্নতি কোণ 45° হলে স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য =BC
সূর্যের উন্নতি কোণ 30° হলে স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য =BD
ধরি, BC=y মিটার
∴ BD=(y+60) মিটার
ABC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(tan45°=\frac{AB}{BC}\)
বা, \(1=\frac{x}{y}\)
∴ \(y=x\)
ABD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(tan30°=\frac{AB}{BD}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{x}{y+6}\)
বা, \(x\sqrt3=y+60\)
বা, \(x\sqrt3=x+60\)
বা, \(x\sqrt3-x=x+60\)
বা, \(x(\sqrt3-1)=60\)
∴ \(x=\frac{60}{\sqrt3-1}\)
\(=\frac{60\left(\sqrt3+1\right)}{\left(\sqrt3-1\right)\left(\sqrt3+1\right)}\)
\(=\frac{60\left(\sqrt3+1\right)}{\left(\sqrt3\right)^2-\left(1\right)^2}\)
\(=\frac{60\left(1.732+1\right)}{3-1}\)
\(=\frac{60\times2.732}{2}\)
\(=60\times1.366=81.96\) (প্রায়)
∴ স্তম্ভটির উচ্চতা 81.96 মিটার (প্রায়)
17. একটি চিমনির সঙ্গে একই সমতলে অবস্থিত অনুভূমিক সরলরেখায় কোনো এক বিন্দু থেকে চিমনির দিকে 50 মিটার এগিয়ে যাওয়ায় তাঁর চূড়ার উন্নতি কোণ 30° থেকে 60° হলো। চিমনির উচ্চতা হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, AB চিমনির উচ্চতা =x মিটার
চিমনির সঙ্গে একই সমতলে অবস্থিত একটি
বিন্দু D থেকে চিমনির চূড়া A বিন্দুর উন্নতি
কোণ 30° এবং D বিন্দু থেকে 50 মিটার
এগিয়ে এসে C বিন্দু থেকে চিমনির চূড়া A বিন্দুর উন্নতি কোণ 60°
∴ \(\angle ADB=30°\), \(\angle ACB=60°\) এবং CD=50 মিটার
ধরি, BC=y মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ ABC -তে
\(tan60°=\frac{AB}{BC}\)
বা, \(\sqrt3=\frac{x}{y}\)
∴ \(y=\frac{x}{\sqrt3}\)
BD=BC+CD
=(y+50) মিটার
\(=\left(\frac{x}{\sqrt3}+50\right)\) মিটার
সমকোণী ত্রিভুজ ADC -তে
\(tan30°=\frac{AB}{BD}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{x}{\frac{x}{\sqrt3}+50}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt3}\left(\frac{x}{\sqrt3}+50\right)=x\)
বা, \(\frac{x}{3}+\frac{50}{\sqrt3}=x\)
বা, \(\frac{x}{3}-x=-\frac{50}{\sqrt3}\)
বা, \(\frac{x-3x}{3}=-\frac{50\sqrt3}{\sqrt3\times\sqrt3}\)
বা, \(-\frac{2x}{3}=-\frac{50\sqrt3}{3}\)
বা, \(2x=50\sqrt3\)
∴ \(x=\frac{50\sqrt3}{2}=25\sqrt3\)
∴ চিমনির উচ্চতা \(25\sqrt3\) মিটার।
18. 126 ডেসিমি উঁচু একটি উল্লম্ব খুঁটি মাটি থেকে কিছু উপরে দুমড়ে গিয়ে উপরের অংশ কাত হয়ে পড়ায় তাঁর অগ্রভাগ মাটি স্পর্শ করে ভূমির সঙ্গে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে। খুঁটিটি কত উপরে দুমড়ে গিয়েছিল এবং তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে কত দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, AB উল্লম্ব খুঁটি O বিন্দুতে দুমড়ে গিয়ে তার অগ্রভাগ মাটিতে C বিন্দুতে স্পর্শ করে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করেছে।
∴ \(\angle OCB=30°\)
AO=CO=x ডেসিমি. (ধরি)
∴ AB=AO+OB=CO+OB
AB=126 ডেসিমি.
∴ OB=(126-x) ডেসিমি.
সমকোণী ∆OBC -তে
\(sin30°=\frac{OB}{CO}\)
বা, \(\frac{1}{2}=\frac{126-x}{x}\)
বা, \(x=2(126-x)\ \)
বা, \(x=252-2x\)
বা, \(x+2x=252\)
বা, \(3x=252\)
∴ \(x=84\)
∴ OB=(126-84) ডেসিমি. =42 ডেসিমি.
ধরি, BC = y ডেসিমি.
সমকোণী ∆OBC -তে
\(tan30°=\frac{OB}{BC}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{42}{y}\)
∴ \(BC=42\sqrt3\)
∴ খুঁটিটি 42 ডেসিমি. উপরে দুমড়ে গিয়েছিল এবং তার অগ্রভাগ গোড়া থেকে \(42\sqrt3\) ডেসিমি. দূরে মাটি স্পর্শ করেছিল।
19. মাঠের মাঝখানে দাঁড়িয়ে মোহিত একটি উড়ন্ত পাখিকে প্রথমে উত্তরদিকে 30° উন্নতি কোণে এবং 2 মিনিট পরে দক্ষিন দিকে 60° উন্নতি কোণে দেখতে পেল। পাখিটি যদি একই সরলরেখা বরাবর \(50\sqrt3\) মিটার উঁচুতে উড়তে থাকে, তবে তাঁর গতিবেগ কিলোমিটার প্রতি ঘন্টায় নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
মনে করি, মোহিত প্রথমে পাখিটিকে 30° কোণে A বিন্দুতে দেখতে পেল এবং 2 মিনিট পরে 45° কোণে B বিন্দুতে দেখতে পেল।
∴ \(\angle APX=30°\) এবং \(\angle BPY=60°\)
ধরি, AO=x মি. এবং BO=y মি.
P বিন্দু থেকে AB এর উপর PO লম্ব
∴ \(PO=50\sqrt3\) মি.
∵ \(\angle APX\)=30° ∴ \(\angle APO\)=90°-30°=60°
∵ \(\angle BPY\)=60° ∴ \(\angle BPO\)=90°-60°=30°
সমকোণী ∆APO -তে
\(tan60°=\frac{AO}{PO}\)
বা, \(\sqrt3=\frac{x}{50\sqrt3}\)
∴ \(x=50\sqrt3\times\sqrt3=150\)
সমকোণী ∆BPO -তে
\(tan30°=\frac{BO}{PO}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{y}{50\sqrt3}\)
∴ \(x=\frac{50\sqrt3}{\sqrt3}=50\)
∴ AB=x+y=(150+50) মি. =200 মি.
পাখিটি 2 মিনিটে যায় 200 মিটার
পাখিটি 1 মিনিটে যায় \(\frac{200}{2}\) মিটার
পাখিটি 60 মিনিটে যায় \(\frac{200}{2}\times60\) মিটার
=6000 মিটার
\(=\frac{6000}{1000}\) কিমি. =6 কিমি.
∴ পাখিটির গতিবেগ 6 কিমি./ঘন্টা
20. \(5\sqrt3\) মিটার উঁচু একটি রেলওয়ে ওভারব্রিজে দাঁড়িয়ে অমিতাদিদি প্রথমে একটি ট্রেনের ইঞ্জিনকে ব্রিজের এপারে 30° অবনতি কোণে দেখলেন। কিন্তু 2 সেকেন্ড পরই ওই ইঞ্জিনকে ব্রিজের ওপারে 45° অবনতি কোণে দেখলেন। ট্রেনটির গতিবেগ মিটার প্রতি সেকেন্ডে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, অমিতাদিদি C বিন্দু থেকে ট্রেনের ইঞ্জিনকে প্রথমে A বিন্দুতে 30° অবনতি কোণে এবং 2 সেকেন্ড পরে ব্রিজের ওপারে B বিন্দুতে 45° অবনতি কোণে দেখলেন।
∴ \(\angle BCX=45°\) এবং \(\angle ACY=30°\) [ধরি, AB||XY]
ওভারব্রিজের উচ্চতা, \(CD=5\sqrt3\) মিটার
\(\angle CBD=\)একান্তর \(\angle BCX=45°\) [∵ AB||XY]
\(\angle CAD=\)একান্তর \(\angle ACY=30°\) [∵ AB||XY]
ধরি, BD= x মিটার এবং AD = y মিটার
সমকোণী ∆BCD -তে
\(tan45°=\frac{CD}{BD}\)
বা, \(1=\frac{5\sqrt3}{x}\)
∴ \(x=5\sqrt3\) মি.
সমকোণী ∆ACD -তে
\(tan30°=\frac{CD}{AD}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}{y}\)
∴ \(y=5\sqrt3\times\sqrt3=15\)
∴ \(AB=AD+BD=(15+5\sqrt3)\) মি.
\(=(15+5\times1.732)\) মি.
\(=(15+8.66)\) মি.
=23.66 মি.
∴ ট্রেনটির গতিবেগ
\(=\frac{23.66}{2}\) মিটার/সেকেন্ড
=11.83 মিটার/সেকেন্ড (প্রায়)
21. একটি নদীর পাড়ের সঙ্গে লম্বভাবে একটি সেতু আছে। সেতুটির একটি পাড়ের প্রান্ত থেকে নদীর পাড় ধরে কিছু দূর গেলে সেতুর অপর প্রান্তটি 45° কোণে দেখা যায় এবং পাড় ধরে আরও 400 মিটার দূরে সরে গেলে সেই প্রান্তটি 30° কোণে দেখা যায়। সেতুটির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, AB সেতুর দৈর্ঘ্য =x মিটার
সেতুর B প্রান্ত থেকে কিছু দূর গিয়ে C বিন্দু থেকে সেতুর অপর প্রান্ত A বিন্দুটি 45° কোণে দেখা যায় এবং B প্রান্ত থেকে আরও 400 মিটার দূরে
D বিন্দু থেকে A বিন্দুটি 30° কোণে দেখা যায়।
∴ \(\angle ACB=45°\), \(\angle ADB=60°\)
এবং CD=400 মিটার
ধরি, BC=y মিটার
সমকোণী ∆ABC -তে
\(tan45°=\frac{AB}{BC}\)
বা, \(1=\frac{x}{y}\)
∴ \(y=x\)
BD=BC+CD=(y+400) মিটার =(x+400) মিটার
সমকোণী ∆ABD -তে
\(tan30°=\frac{AB}{BD}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{x}{x+400}\)
বা, \(x\sqrt3=x+400\)
বা, \(x\sqrt3-x=400\)
বা, \(x(\sqrt3-1)=400\)
বা, \(x=\frac{400}{\sqrt3-1}\)
\(=\frac{400\left(\sqrt3+1\right)}{\left(\sqrt3-1\right)\left(\sqrt3+1\right)}\)
\(=\frac{400\left(\sqrt3+1\right)}{\left(\sqrt3\right)^2-\left(1\right)^2}\)
\(=\frac{400\left(\sqrt3+1\right)}{3-1}\)
\(=\frac{400\left(\sqrt3+1\right)}{2}\)
\(=200\left(\sqrt3+1\right)\)
∴ সেতুটির দৈর্ঘ্য \(200\left(\sqrt3+1\right)\) মিটার।
22. একটি পার্কের একপ্রান্তে অবস্থিত 15 মিটার উঁচু একটি বাড়ির ছাদ থেকে পার্কের অপর পারে অবস্থিত একটি ইটভাটার চিমনির পাদদেশ ও অগ্রভাগ যথাক্রমে 30° অবনতি কোণ ও 60° উন্নতি কোণে দেখা যায়। ইটভাটার চিমনির উচ্চতা এবং ইটভাটা ও বাড়ির মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, AB হল 15 মিটার উঁচু বাড়ি এবং CD হল ইটভাটার উচ্চতা
বাড়ির ছাদ A বিন্দু থেকে চিমনির পাদদেশ D বিন্দুর অবনতি কোণ 30° ও চিমনির অগ্রভাগ C বিন্দুর উন্নতি কোণ
60°
∴ \(\angle PAC=60°\)
এবং \(\angle PAD=30°\) [ধরি, AP||BD]
\(\angle ADB=\) একান্তর \(\angle PAD=30°\) [∵ AP||BD]
ধরি, চিমনির উচ্চতা =x মিটার এবং BD=y মিটার
∴ AP=BD=y মিটার, CP=(x-15) মিটার
সমকোণী ∆ABD -তে
\(tan30°=\frac{AB}{BD}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{15}{y}\)
∴ \(y=15\sqrt3\)
সমকোণী ∆APC -তে
\(tan60°=\frac{CP}{AP}\)
বা, \(\sqrt3=\frac{x-15}{15\sqrt3}\) [∵ \(y=15\sqrt3\)]
বা, \(x-15=15\sqrt3\times\sqrt{3}\)
বা, \(x-15=45\)
∴ x=45+15=60
∴ ইটভাটার চিমনির উচ্চতা 60 মিটার এবং ইটভাটা এবং বাড়ির মধ্যে দূরত্ব \(15\sqrt3\) মিটার।
23. একটি উড়োজাহাজ থেকে রাস্তায় পরপর দুটি কিলোমিটার ফলকের অবনতি কোণ যথাক্রমে 60° ও 30° হলে, উড়োজাহাজটির উচ্চতা নির্ণয় করি,
(i) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের বিপরীত পাশে অবস্থিত,
(ii) যখন ফলক দুটি উড়োজাহাজের একই পাশে অবস্থিত ।
সমাধানঃ
(i)
ধরি, উড়োজাহাজের উচ্চতা CD=x মি.
উড়োজাহাজের অবস্থান C বিন্দু থেকে প্রথম ফলক A বিন্দুটির অবনতি কোণ 60° এবং দ্বিতীয় ফলক B বিন্দুর
অবনতি কোণ 30°
∴ \(\angle ACX=60°\)
এবং \(\angle BCY=30°\) [ধরি, XY||AB]
ফলক দুটির মধ্যে দূরত্ব, AB=1000 মিটার
ধরি, AD=y মিটার ∴ BD=(1000-y) মিটার
\(\angle CAD=\)একান্তর \(\angle ACX=60°\) [∵ XY||AB]
\(\angle CBD=\)একান্তর \(\angle BCY=30°\) [∵ XY||AB]
সমকোণী ∆ACD -তে
\(tan60°=\frac{CD}{AD}\)
বা, \(\sqrt3=\frac{x}{y}\)
∴ \(y=\frac{x}{\sqrt3}\)
সমকোণী ∆BCD -তে
\(tan30°=\frac{CD}{BD}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{x}{1000-y}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{x}{1000-\frac{x}{\sqrt3}}\)
বা, \(x\sqrt3=1000-\frac{x}{\sqrt3}\)
বা, \(x\sqrt3+\frac{x}{\sqrt3}=1000\)
বা, \(\frac{3x+x}{\sqrt3}=1000\)
বা, \(4x=1000\sqrt3\)
∴ \(x=\frac{1000\sqrt3}{4}=250\sqrt3\)
∴ উড়োজাহাজটির উচ্চতা \(250\sqrt3\) মিটার।
ধরি, উড়োজাহাজের উচ্চতা CD=x মি.
উড়োজাহাজের অবস্থান C বিন্দু থেকে প্রথম ফলক A বিন্দুটির অবনতি কোণ 60° এবং দ্বিতীয় ফলক B বিন্দুর
অবনতি কোণ 30°
∴ \(\angle ACX=60°\)
এবং \(\angle BCX=30°\) [ধরি, CX||BD]
ফলক দুটির মধ্যে দূরত্ব, AB=1000 মিটার
ধরি, AD=y মিটার ∴ BD=\left(y+1000\right) মিটার
\(\angle CAD=\)একান্তর \(\angle ACX=60°\) [∵ CX||BD]
\(\angle CBD=\)একান্তর \(\angle BCX=30°\) [∵ CX||BD]
সমকোণী ∆ACD -তে
\(tan30°=\frac{CD}{AD}\)
বা, \(\sqrt3=\frac{x}{y}\)
∴ \(y=\frac{x}{\sqrt3}\)
সমকোণী ∆BCD -তে
\(tan30°=\frac{CD}{BD}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{x}{y+1000}\)
বা, \(\frac{1}{\sqrt3}=\frac{x}{\frac{x}{\sqrt3}+1000}\)
বা, \(x\sqrt3=\frac{x}{\sqrt3}+1000\)
বা, \(x\sqrt3-\frac{x}{\sqrt3}=1000\)
বা, \(\frac{3x-x}{\sqrt3}=1000\)
বা, \(2x=1000\sqrt3\)
∴ \(x=\frac{1000\sqrt3}{2}=500\sqrt3\)
∴ উড়োজাহাজটির উচ্চতা \(500\sqrt3\) মিটার।
24. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i). মাঠের উপর একটি বিন্দু থেকে মোবাইল টাওয়ারের চূড়ার উন্নতি কোণ 60° এবং টাওয়ারের গোড়া থেকে ওই বিন্দুর দূরত্ব 10 মিটার। টাওয়ারের উচ্চতা
(a) 10 মিটার (b) \(10\sqrt3\) মিটার
(c) \(\frac{10}{\sqrt3}\) মিটার (d) 100 মিটার
C বিন্দু থেকে টাওয়ারের চূড়া A বিন্দুর উন্নতি কোণ 60°
∴ \(\angle ACB=60°\) BC=10 মিটার
সমকোণী ∆ABC -তে
\(tan60°=ABBC\)
বা, \(\sqrt3=\frac{x}{10}\)
∴ \(x=10\sqrt3\)
∴ টাওয়ারের উচ্চতা \(10\sqrt3\) মিটার
উত্তরঃ (b) \(10\sqrt3\) মিটার
(ii) 
θ এর মান-
(a) 30° (b) 45° (c) 60° (d) 75°
\(tan\theta=\frac{5}{5\sqrt3}\)
বা, \(tan\theta=\frac{1}{\sqrt3}\)
বা, \(tan\theta=tan30°\)
∴ \(\theta=30°\)
উত্তরঃ (a) 30°
(iii) তিনতলা বাড়ির ছাদ থেকে মাটিতে পড়ে থাকা একটি বাক্সকে যত কোণে দেখলে বাড়ির উচ্চতা ও বাড়ি থেকে বাক্সটির দূরত্ব সমান হয় তা হলো,
(a) 15° (b) 30° (c) 45° (d) 60°
ধরি, AB= বাড়ির উচ্চতা
BC= বাড়ি থেকে বাক্সটির দূরত্ব
∴ AB=BC
সমকোণী ∆ABC -তে
\(tan\angle ACB=\frac{AB}{BC}\)
বা, \(tan\angle ACB=\frac{BC}{BC}\) [∵ AB||BC]
বা, \(tan\angle ACB=1\)
বা, \(tan\angle ACB=tan45°\)
∴ \(\angle ACB=45°\)
উত্তরঃ (c) 45°
(iv) একটি টাওয়ারের উচ্চতা \(100\sqrt3\) মিটার। টাওয়ারের পাদবিন্দু থেকে 100 মিটার দূরে একটি বিন্দু থেকে টাওয়ারের চূড়ার উন্নতি কোণ
(a) 30° (b) 45° (c) 60° (d) কোনোটিই নয়
\(tan\angle ACB=\frac{AB}{BC}=\frac{100\sqrt3}{100}=\sqrt3\)
বা, \(tan\angle ACB=tan60°\)
∴ \(\angle ACB=60°\)
উত্তরঃ (c) 60°
(v) একটি পোষ্টের ভূমিতলে ছায়ার দৈর্ঘ্য পোষ্টের উচ্চতার \(\sqrt3\) গুন হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ
(a) 30° (b) 45° (c) 60° (d) কোনোটিই নয়
ধরি, AB পোষ্টের দৈর্ঘ্য =x একক
∴ BC=\(\sqrt3x\) একক
সমকোণী ∆ABC -তে
\(tan\angle ACB=\frac{AB}{BC}=\frac{x}{x\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}\)
বা, \(tan\angle ACB=tan30°\)
∴ \(\angle ACB=30°\)
উত্তরঃ (a) 30°
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) ∆ABC এর \(\angle B=90°\),AB=BC হলে, \(\angle C=60°\).
∆ABC এর \(\angle B=90°\) এবং AB=BC
\(tan\angle C=\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BC}=1=tan45°\)
∴ \(\angle C=45°\)
বিবৃতিটি মিথ্যা
(ii) 
PQ একটি বাড়ির উচ্চতা, QR ভূমি। P বিন্দু থেকে R বিন্দুর অবনতি কোণ \(\angle SPR\);
সুতরাং, \(\angle SPR=\angle PRQ\).
PS||QR
∴ \(\angle SPR=\)একান্তর \(\angle PRQ\)
বিবৃতিটি সত্য
(C) শূণ্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) সূর্যের উন্নতি কোণ 30° থেকে বৃদ্ধি পেয়ে 60° হলে, একটি পোষ্টের ছায়ার দৈর্ঘ্য _________ পায়। (হ্রাস/বৃদ্ধি)
উত্তরঃ হ্রাস
(ii) সূর্যের উন্নতি কোণ 45° হলে, একটি পোস্টের দৈর্ঘ্য ও তার ছায়ার দৈর্ঘ্য _______ হয়।
উত্তরঃ সমান
(iii) যখন সূর্যের উন্নতি কোণ 45° এর________ তখন একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য স্তম্ভের উচ্চতা থেকে কম।
উত্তরঃ বেশি
25. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.):
(i) একটি ঘুড়ির উন্নতি কোণ 60° এবং সুতোর দৈর্ঘ্য \(20\sqrt3\) মিটার হলে, ঘুড়িটি মাটি থেকে কত উচ্চতায় আছে হিসাব করি।
সমাধানঃ
ধরি, ঘুড়িটি উচ্চতা, AB=x মিটার
সুতোর দৈর্ঘ্য, AC=\(20\sqrt3\) মিটার
ঘুড়ির উন্নতি কোণ 60° ∴ \(\angle ACB=60°\)
সমকোণী ∆ABC -তে,
\(sin60°=\frac{AB}{AC}\)
বা, \(\frac{\sqrt3}{2}=\frac{x}{20\sqrt3}\)
∴ \(x=20\sqrt3\times\frac{\sqrt3}{2}=30\)
∴ ঘুড়িটি মাটি থেকে 30 মিটার উচ্চতায় আছে।
সমাধানঃ
AC=100 মিটার, AB=\(50\sqrt3\) মিটার
সমকোণী ∆ABC -তে
\(sin\angle C=\frac{AB}{AC}\)
বা, \(sin\angle C=\frac{50\sqrt3}{100}\)
বা, \(sin\angle C=\frac{\sqrt3}{2}\)
বা, \(sin\angle C=sin60°\)
∴ \(\angle C=60°\)
(iii) ঝড়ে একটি গাছ মচকে গিয়ে তার অগ্রভাগ এমনভাবে ভূমি স্পর্শ করেছে যে গাছটির অগ্রভাগ থেকে গোড়ার দূরত্ব এবং বর্তমান উচ্চতা সমান। গাছটির অগ্রভাগ ভূমির সাথে কত কোণে করেছে হিসাব করি।
সমাধানঃ
ধরি, AB দৈর্ঘ্যের গাছটি O বিন্দুতে মচকে গিয়ে তার অগ্রভাগ C বিন্দুতে মাটি স্পর্শ করেছে।
BC= গাছের অগ্রভাগ থেকে গোড়ার দূরত্ব
BO= গাছটির বর্তমান উচ্চতা
∴ BO=BC
সমকোণী ∆OBC -তে
\(tan\angle C=\frac{BO}{BC}=\frac{BC}{BC}=1=tan45°\)
∴ \(\angle C=45°\)
∴ গাছটির অগ্রভাগ ভূমির সাথে 45° কোণ করে আছে।
(iv) ABC সমকোণী ত্রিভুজ \(\angle B=90°\),AB র উপর D এমন একটি বিন্দু যে AB:BC:BD=\(\sqrt3:1:1\), \(\angle ACD\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, AB=\(\sqrt3x\) একক, BC=x একক
এবং BD=x একক
সমকোণী ∆ABC -তে
\(tan\angle ACB=\frac{AB}{BC}\)
বা, \(tan\angle ACB=\frac{\sqrt3x}{x}\)
বা, \(tan\angle ACB=\sqrt3\)
বা, \(tan\angle ACB=tan60°\)
∴ \(\angle ACB=60°\)
সমকোণী ∆DBC -তে
\(tan\angle DCB=\frac{BD}{BC}\)
বা, \(tan\angle DCB=\frac{x}{x}\)
বা, \(tan\angle DCB=1\)
বা, \(tan\angle DCB=tan45°\)
∴ \(\angle DCB=45°\)
∴ \(\angle ACD=\angle ACB-\angle DCB\)
\(=60°-45°=15°\)
(v) একটি স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য এবং স্তম্ভের উচ্চতার অনুপাত \(\sqrt3:1\) হলে, সূর্যের উন্নতি কোণ নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
AB= স্তম্ভের দৈর্ঘ্য এবং BC= স্তম্ভের ছায়ার দৈর্ঘ্য
∴ \(BC:AB=\sqrt3:1\)
বা, \(\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt3}{1}\)
বা, \(\frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt3}\)
সমকোণী ∆ABC -তে
\(tan\angle ACB=\frac{AB}{BC}\)
বা, \(tan\angle ACB=\frac{1}{\sqrt3}\)
বা, \(tan\angle ACB=tan30°\)
∴ \(\angle ACB=30°\)
∴ সূর্যের উন্নতি কোণ 30°
0 Comments