23. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি । কষে দেখি 23.3 | Exercise 23.3 solution | গণিত প্রকাশ X সমাধান | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
কষে দেখি 23.3 সমাধান
1. (i) \(sin\theta=\frac{4}{5}\) হলে,\(\frac{cosecθ}{1+cotθ}\) এর মান নির্ণয় করে লিখি।
সমাধানঃ
\(sin\theta=\frac{4}{5}\)
ধরি, লম্ব AB = 4k একক এবং অতিভুজ AC=5k একক, (যেখানে k>0)
∴ ভূমি BC= \(\sqrt{AC^2-AB^2}\)
=\(\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}\) একক
=\(\sqrt{25k^2-16k^2}\) একক
=\(\sqrt{9k^2}\) একক = 3k একক
\(cosec\theta=\frac{AC}{AB}=\frac{5k}{4k}=\frac{5}{4}\)
\(cot\theta=\frac{BC}{AB}=\frac{3k}{4k}=\frac{3}{4}\)
∴ \(\frac{cosec\theta}{1+cot\theta}\)
\(=\frac{\frac{5}{4}}{1+\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{4+3}{4}}\)
\(=\frac{5}{4}\times\frac{4}{7}=\frac{5}{7}\)
(ii) যদি tanθ=\(\frac{3}{4}\) হয়,তবে দেখাই যে \(\sqrt{\frac{1-sinθ}{1+sinθ}}=\frac{1}{2}\)
সমাধানঃ
tanθ=\(\frac{3}{4}\)
∴ secθ = \(\sqrt{1+tan^2 \theta}\)
= \(\sqrt{1+\frac{9}{16}}\)
= \(\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}\)
∴ cosθ = \(\frac{1}{sec \theta}=\frac{4}{5}\)
∴ sinθ = \(\sqrt{1-cos^2 \theta}\)
= \(\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
= \(\sqrt{\frac{9}{25}}\)
= \(\frac{3}{5}\)
∴ \(\sqrt{\frac{1-sin\theta}{1+sin\theta}}\)
\(=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{1+\frac{3}{5}}}\)
\(=\sqrt{\frac{\frac{5-3}{5}}{\frac{5+3}{5}}}\)
\(=\sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{\frac{8}{5}}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{8}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\) [প্রমাণিত]
(iii) \(tan\theta=1\) হলে,\(\frac{8sinθ+5cosθ}{sin^3θ-2cos^3θ+7cosθ}\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
tanθ=1
বা, tanθ=tan45°
∴ θ=45°
\(\frac{8sinθ+5cosθ}{sin^3θ-2cos^3θ+7cosθ}\)
\(=\frac{8sin45°+5cos45°}{sin^345°-2cos^345°+7cos45°}\)
\(=\frac{8\times\frac{1}{\sqrt2}+5\times\frac{1}{\sqrt2}}{\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^3-2\times\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^3+7\times\frac{1}{\sqrt2}}\)
\(=\frac{\frac{8}{\sqrt2}+\frac{5}{\sqrt2}}{\frac{1}{2\sqrt2}-\frac{2}{2\sqrt2}+\frac{7}{\sqrt2}}\)
\(=\frac{\frac{13}{\sqrt2}}{\frac{1-2+14}{2\sqrt2}}=\frac{13}{\sqrt2}\times\frac{2\sqrt2}{13}\)
=2
2. (i) \(cosec\theta\) এবং \(tan\theta\) কে \(sin\theta\) এর মাধ্যমে প্রকাশ করি।
সমাধানঃ
\(cosec\theta=\frac{1}{sin\theta}\)
আমরা জানি, \(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)
∴ \(cos\theta=\sqrt{1-sin^2\theta}\)
∴ \(tan\theta=\frac{sin\theta}{cos\theta}=\frac{sin\theta}{\sqrt{1-sin^2\theta}}\)
(ii) \(cosec\theta\) এবং \(tan\theta\) কে \(cos\theta\) এর মাধ্যমে লিখি।
সমাধানঃ
আমরা জানি, \(sin^2\theta+cos^2\theta=1\)
∴ \(sin\theta=\sqrt{1-cos^2\theta}\)
∴ \(cosec\theta=\frac{1}{sin\theta}=\frac{1}{\sqrt{1-cos^2\theta}}\)
\(tan\theta=\frac{sin\theta}{cos\theta}=\frac{\sqrt{1-cos^2\theta}}{cos\theta}\)
3. (i) \(sec\theta+tan\theta=2\) হলে, \((sec\theta-tan\theta)\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\({sec}^2\theta=1+{tan}^2\theta\)
বা, \({sec}^2\theta-{tan}^2\theta=1\)
বা, \((sec\theta+tan\theta)(sec\theta-tan\theta)=1\)
বা, \(2(sec\theta-tan\theta)=1\)
∴ \(sec\theta-tan\theta=\frac{1}{2}\)
(ii) \(cosec\theta-cot\theta=\sqrt2-1\) হলে, \((cosec\theta+cot\theta)\) এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(co{sec}^2\theta=1+{cot}^2\theta\)
বা, \({cosec}^2\theta-{cot}^2\theta=1\)
বা, \((cosec\theta+cot\theta)(cosec\theta-cot\theta)=1\)
বা, \((cosec\theta+cot\theta)(\sqrt2-1)=1\)
∴ \(cosec\theta+cot\theta=\frac{1}{\sqrt2-1}\)
\(=\frac{\sqrt2+1}{\left(\sqrt2-1\right)\left(\sqrt2+1\right)}\)
\(=\frac{\sqrt2+1}{\left(\sqrt2\right)^2-\left(1\right)^2}\)
\(=\frac{\sqrt2+1}{2-1}\)
\(=\sqrt2+1\)
(iii) \(sin\theta+cos\theta=1\) হলে, \(sin\theta\times cos\theta\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(sin\theta+cos\theta=1\)
বা, \(\left(sin\theta+cos\theta\right)^2=\left(1\right)^2\) [উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই]
বা, \({sin}^2\theta+2sin\theta cos\theta+{cos}^2\theta=1\)
বা, \({sin}^2\theta+{cos}^2\theta+2sin\theta cos\theta=1\)
বা, \(1+2sin\theta cos\theta=1\)
বা, \(2sin\theta cos\theta=1-1\)
বা, \(sin\theta cos\theta=\frac{0}{2}\)
∴ \(sin\theta\times cos\theta=0\)
(iv) \(tan\theta+cot\theta=2\) হলে, \((tan\theta-cot\theta)\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(\left(tan\theta-cot\theta\right)^2\)
\(=\left(tan\theta+cot\theta\right)^2-4tan\theta cot\theta\)
\(=\left(2\right)^2-4\times1\)
\(=4-4\)
\(=0\)
∴ \(tan\theta-cot\theta=0\)
(v) \(sin\theta-cos\theta=\frac{7}{13}\) হলে, \(sin\theta+cos\theta\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(sin\theta-cos\theta=\frac{7}{13}\)
বা, \(\left(sin\theta-cos\theta\right)^2=\left(\frac{7}{13}\right)^2\) [উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই]
বা, \({sin}^2\theta-2sin\theta cos\theta+{cos}^2\theta=\frac{49}{169}\)
বা, \({sin}^2\theta-{cos}^2\theta+2sin\theta cos\theta=\frac{49}{169}\)
বা, \(1-2sin\theta cos\theta=\frac{49}{169}\)
বা, \(-2sin\theta cos\theta=\frac{49}{169}-1\)
বা, \(-2sin\theta cos\theta=\frac{49-169}{169}\)
বা, \(-2sin\theta cos\theta=\frac{-120}{169}\)
∴ \(sin\theta cos\theta=\frac{120}{169\times2}=\frac{60}{169}\)
\({(sin\theta+cos\theta)}^2={(sin\theta-cos\theta)}^2+4sin\theta cos\theta\)
\(=\left(\frac{7}{13}\right)^2+4\times\frac{60}{169}\)
\(=\frac{49}{169}+\frac{240}{169}\)
\(=\frac{49+240}{169}\)
\(=\frac{289}{169}\)
∴ \(sin\theta+cos\theta=\sqrt{\frac{289}{169}}=\frac{17}{13}\)
(vi) \(sin\theta cos\theta=\frac{1}{2}\) হলে, \((sin\theta+cos\theta)\) এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\({(sin\theta+cos\theta)}^2\)
\(={sin}^2\theta+{cos}^2\theta+2sin\theta cos\theta\)
\(=1+2\times\frac{1}{2}\)
\(=1+1=2\)
∴ \(sin\theta+cos\theta=\sqrt2\)
(vii) \(sec\theta-tan\theta=\frac{1}{\sqrt3}\) হলে, \(sec\theta\) এবং \(tan\theta\) উভয়ের মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(sec\theta-tan\theta=\frac{1}{\sqrt3}\) (i)
আমরা জানি,
\({sec}^2\theta=1+{tan}^2\theta\)
বা, \({sec}^2\theta-{tan}^2\theta=1\)
বা, \((sec\theta+tan\theta)(sec\theta-tan\theta)=1\)
বা, \((sec\theta+tan\theta)\times\frac{1}{\sqrt3}=1\)
∴ \(sec\theta+tan\theta=\sqrt3\) (ii)
(i)+(ii) করে পাই,
\(sec\theta-tan\theta+sec\theta+tan\theta=\frac{1}{\sqrt3}+\sqrt3\)
বা, \(2sec\theta=\frac{1+3}{\sqrt3}\)
বা, \(sec\theta=\frac{4}{2\sqrt3}\)
∴ \(sec\theta=\frac{2}{\sqrt3}\)
(ii) নং সমীকরণে \(sec\theta=\frac{2}{\sqrt3}\) বসিয়ে পাই,
\(\frac{2}{\sqrt3}+tan\theta=\sqrt3\)
বা, \(tan\theta=\sqrt3-\frac{2}{\sqrt3}\)
বা, \(tan\theta=\frac{3-2}{\sqrt3}\)
∴ \(tan\theta=\frac{1}{\sqrt3}\)
∴ \(sec\theta=\frac{2}{\sqrt3}\) এবং \(tan\theta=\frac{1}{\sqrt3}\)
(viii) \(cosec\theta+cot\theta=\sqrt3\) হলে, \(cosec\theta\) এবং \(cot\theta\) উভয়ের মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(cosec\theta+cot\theta=\sqrt3\) (i)
বা, \(cosec^2\theta=1+cot^2\theta\)
বা, \(cosec^2\theta-cot^2\theta=1\)
বা, \((cosec\theta+cot\theta)(cosec\theta-cot\theta)=1\)
বা, \(\sqrt3\times(cosec\theta-cot\theta)=1\)
বা, \(cosec\theta-cot\theta=\frac{1}{\sqrt3}\) (ii)
(i)+(ii) করে পাই,
\(cosec\theta+cot\theta+cosec\theta-cot\theta=\sqrt3+\frac{1}{\sqrt3}\)
বা, \(2cosec\theta=\frac{3+1}{\sqrt3}\)
বা, \(cosec\theta=\frac{4}{2\sqrt3}\)
∴ \(cosec\theta=\frac{2}{\sqrt3}\)
(i) নং সমীকরণে \(cosec\theta=\frac{2}{\sqrt3}\)বসিয়ে পাই,
\(\frac{2}{\sqrt3}+cot\theta=\sqrt3\)
বা, \(cot\theta=\sqrt3-\frac{2}{\sqrt3}\)
বা, \(cot\theta=\frac{3-2}{\sqrt3}\)
∴ \(cot\theta=\frac{1}{\sqrt3}\)
∴ \(cosec\theta=\frac{2}{\sqrt3}\) এবং \(cot\theta=\frac{1}{\sqrt3}\)
(ix) \(\frac{\left(sin\theta+cos\theta\right)}{sin\theta-cos\theta}=7\) হলে,\(tanθ\) এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(\frac{sin\theta+cos\theta}{sin\theta-cos\theta}=7\)
বা, \(\frac{\left(sin\theta+cos\theta\right)+\left(sin\theta-cos\theta\right)}{\left(sin\theta+cos\theta\right)-\left(sin\theta-cos\theta\right)}=\frac{7+1}{7-1}\)
[যোগ ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]
বা, \(\frac{sin\theta+cos\theta+sin\theta-cos\theta}{sin\theta+cos\theta-sin\theta+cos\theta}=\frac{8}{6}\)
বা, \(\frac{2sin\theta}{2cos\theta}=\frac{4}{3}\)
∴ \(tan\theta=\frac{4}{3}\)
(x) \(\frac{cosec\theta+sin\theta}{cosec\theta-sin\theta}=\frac{5}{3}\) হলে, \(sin\theta\) এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(\frac{cosec\theta+sin\theta}{cosec\theta-sin\theta}=\frac{5}{3}\)
বা, \(\frac{\left(cosec\theta+sin\theta\right)+\left(cosec\theta-sin\theta\right)}{\left(cosec\theta+sin\theta\right)-\left(cosec\theta-sin\theta\right)}=\frac{5+3}{5-3}\)
[যোগ ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]
বা, \(\frac{cosec\theta+sin\theta+cosec\theta-sin\theta}{cosec\theta+sin\theta-cosec\theta+sin\theta}=\frac{8}{2}\)
বা, \(\frac{2cosec\theta}{2sin\theta}=4\)
বা, \(\frac{1}{sin\theta\times sin\theta}=4\)
বা, \(\frac{1}{sin^2\theta}=4\)
বা, \(sin^2\theta=\frac{1}{4}\)
∴ \(sin\theta=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\)
4. (i) PQR\ ত্রিভুজে \(\angle Q\) সমকোণ। \(PR=\sqrt5\) একক এবং PQ-RQ=1 একক হলে, cosP-cosR এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
(xi) \(sec\theta+cos\theta=\frac{5}{2}\) হলে, \((sec\theta-cos\theta)\) এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(\left(sec\theta-cos\theta\right)^2\)
\(=\left(sec\theta+cos\theta\right)^2-4sec\theta cos\theta\)
\(=\left(\frac{5}{2}\right)^2-4\times1\)
\(=\frac{25}{4}-4\)
\(=\frac{25-16}{4}\)
\(=\frac{9}{4}\)
∴ \(sec\theta-cos\theta=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}\)
(xii) \(5sin^2\theta+4cos^2\theta=\frac{9}{2}\)সম্পর্কটি থেকে tanθ এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(5{sin}^2\theta+4cos^2\theta=\frac{9}{2}\)
বা, \(2(5{sin}^2\theta+4cos^2\theta)=9\times1\)
বা, \(10{sin}^2\theta+8cos^2\theta=9({sin}^2\theta+cos^2\theta)\)
বা, \(10{sin}^2\theta+8cos^2\theta=9{sin}^2\theta+9cos^2\theta\)
বা, \(10{sin}^2\theta-9{sin}^2\theta=9cos^2\theta-8cos^2\theta\)
বা, \({sin}^2\theta=cos^2\theta\)
বা, \(\frac{{sin}^2\theta}{cos^2\theta}=1\)
বা, \(\left(\frac{sin\theta}{cos\theta}\right)^2=1\)
বা, \(\left(tan\theta\right)^2=1\)
∴ \(tan\theta=1\)
(xiii) \(tan^2\theta+cot^2\theta=\frac{10}{3}\) হলে, \(tan\theta+cot\theta\) এবং
\(tan\theta-cot\theta\) এর মান নির্ণয় করি এবং সেখান থেকে \(tan\theta\)\ এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\({(tan\theta+cot\theta)}^2={tan}^2\theta+{cot}^2\theta+2tan\theta cot\theta\)
\(=\frac{10}{3}+2\times1\)
\(=\frac{10}{3}+2\)
\(=\frac{10+6}{3}\)
\(=\frac{16}{3}\)
∴ \(tan\theta+cot\theta=\frac{4}{\sqrt3}\) (i)
\({(tan\theta-cot\theta)}^2={tan}^2\theta+{cot}^2\theta-2tan\theta cot\theta\)
\(=\frac{10}{3}-2\times1\)
\(=\frac{10}{3}-2\)
\(=\frac{10-6}{3}\)
\(=\frac{4}{3}\)
∴ \(tan\theta-cot\theta=\pm\frac{2}{\sqrt3}\)
যখন \(tan\theta-cot\theta=\frac{2}{\sqrt3}\) (ii)
(i)+(ii) করে পাই,
\(tan\theta+cot\theta+tan\theta-cot\theta=\frac{4}{\sqrt3}-\frac{2}{\sqrt3}\)
বা, \(2tan\theta=\frac{4-2}{\sqrt3}\)
বা, \(2tan\theta=\frac{2}{\sqrt3}\)
∴ \(tan\theta=\frac{1}{\sqrt3}\)
যখন \(tan\theta-cot\theta=-\frac{2}{\sqrt3}\) (iii)
(i)+(iii) করে পাই,
\(tan\theta+cot\theta+tan\theta-cot\theta=\frac{4}{\sqrt3}+\frac{2}{\sqrt3}\)
বা, \(2tan\theta=\frac{4+2}{\sqrt3}\)
বা, \(2tan\theta=\frac{6}{\sqrt3}\)
বা, \(tan\theta=\frac{3}{\sqrt3}\)
∴ \(tan\theta=\frac{3\sqrt3}{\sqrt3\times\sqrt3}=\frac{3\sqrt3}{3}=\sqrt3\)
∴ \(tan\theta+cot\theta=\frac{4}{\sqrt3}\), \(tan\theta-cot\theta=\pm\frac{2}{\sqrt3}\)
\(tan\theta=\sqrt3\) অথবা \(\frac{1}{\sqrt3}\)
(xiv) \(sec^2\theta+tan^2\theta=\frac{13}{12}\) হলে, \((sec^4\theta-tan^4\theta)\) এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\({sec}^4\theta-{tan}^4\theta\)
\(=\left({sec}^2\theta\right)^2-\left({tan}^2\theta\right)^2\)
\(=\left({sec}^2\theta+{tan}^2\theta\right)\left({sec}^2\theta-{tan}^2\theta\right)\)
\(=\frac{13}{12}\times\left(1+{tan}^2\theta-{tan}^2\theta\right)\)
\(=\frac{13}{12}\times1\)
\(=\frac{13}{12}\)
4. (i) PQR\ ত্রিভুজে \(\angle Q\) সমকোণ। \(PR=\sqrt5\)একক এবং
PQ-RQ=1 একক হলে, cosP-cosR এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(cosP-cosR\)
\(=\frac{PQ}{PR}-\frac{QR}{PR}\)
\(=\frac{PQ-QR}{PR}\)
\(=\frac{1}{\sqrt5}\)
(ii) XYZ ত্রিভুজে \(\angle Y\) সমকোণ। \(XY=2\sqrt3\) একক এবং
XZ-YZ=2 একক হলে, secX-tanX এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(secX-tanX\)
\(=\frac{XZ}{XY}-\frac{YZ}{XY}\)
\(=\frac{XZ-YZ}{XY}\)
\(=\frac{2}{2\sqrt3}\)
\(=\frac{1}{\sqrt3}\)
5. সম্পর্কগুলি থেকে \(‘θ’\) অপনয়ন করিঃ
(i) \(x=2sin\theta,\ y=3cos\theta\)
সমাধানঃ
\(x=2sin\theta\) ∴ \(sin\theta=\frac{x}{2}\)
\(y=3cos\theta\) ∴ \(cos\theta=\frac{y}{3}\)
যেহেতু, \({sin}^2\theta{+cos}^2\theta=1\)
সুতরাং, \(\left(\frac{x}{2}\right)^2+\left(\frac{y}{3}\right)^2=1\)
∴ \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)
(ii) \(5x=3sec\theta,\ y=3tan\theta\)
সমাধানঃ
\(5x=3sec\theta\) ∴ \(sec\theta=\frac{5x}{3}\)
\(y=3tan\theta\) ∴ \(tan\theta=\frac{y}{3}\)
যেহেতু, \(sec^2\theta{-tan}^2\theta=1\)
সুতরাং, \(\left(\frac{5x}{3}\right)^2-\left(\frac{y}{3}\right)^2=1\)
বা, \(\frac{25x^2}{9}-\frac{y^2}{9}=1\)
বা, \(\frac{25x^2-y^2}{9}=1\)
∴ \(25x^2-y^2=9\)
6. (i) যদি \(sin\alpha=\frac{5}{13}\) হয়, তাহলে দেখাই যে \(tan\alpha+sec\alpha=1.5\)
সমাধানঃ
\(sin\alpha=\frac{5}{13}\)
∴ \(cos\alpha=\sqrt{1-sin^2 \alpha}\)
\(=\sqrt{1-\frac{25}{169}}\)
\(=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}\)
∴ \(sec\alpha=\frac{1}{cos\alpha}=\frac{13}{12}\)
∴ \(tan\alpha=\sqrt{sec^2 \alpha -1}\)
\(=\sqrt{\frac{169}{144}-1}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{144}}=\frac{5}{12}\)
∴ \(tan\alpha+sec\alpha\)
\(=\frac{5}{12}+\frac{13}{12}\)
\(=\frac{5+13}{12}\)
\(=\frac{18}{12}=1.5\) [প্রমাণিত]
(ii) যদি \(tanA=\frac{n}{m}\) হয়, তাহলে sinA ও secA উভয়ের মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
∴ secA = \(\sqrt{1+tan^2 A}\)
= \(\sqrt{1+\frac{n^2}{m^2}}\)
= \(\sqrt{\frac{m^2+n^2}{m^2}}\)
= \(\frac{\sqrt{m^2+n^2}}{m}\)
∴ cosθ = \(\frac{m}{\sqrt{m^2+n^2}}\)
∴ sinθ = \(\sqrt{1-cos^2 \theta}\)
= \(\sqrt{1-\frac{m^2}{m^2+n^2}}\)
= \(\sqrt{\frac{m^2+n^2-m^2}{m^2+n^2}}\)
= \(\sqrt{\frac{n^2}{m^2+n^2}}\)
= \(\frac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}\)
(iii) যদি \(cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(xsin\theta=ycos\theta\)
সমাধানঃ
\(cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
∴ \(sin\theta=\sqrt{1-{cos}^2\theta}\)
\(=\sqrt{1-\frac{x^2}{x^2+y^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{x^2+y^2-x^2}{x^2+y^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{y^2}{x^2+y^2}}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
বামপক্ষ
\(=xsin\theta\)
\(=x\times\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
ডানপক্ষ
\(=ycos\theta\)
\(=y\times\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
(iv) যদি \(sin\alpha=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(cot\alpha=\frac{2ab}{a^2-b^2}\)
সমাধানঃ
\(sin\alpha=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\)
∴ \(cos\alpha=\sqrt{1-{sin}^2\theta}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\left(a^2-b^2\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{{\left(a^2+b^2\right)^2-\left(a^2-b^2\right)}^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{4a^2b^2}{\left(a^2+b^2\right)^2}}\)
\(=\frac{2ab}{a^2+b^2}\)
∴ \(cot\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=\frac{\frac{2ab}{a^2+b^2}}{\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{2ab}{a^2+b^2}\times\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\)
\(=\frac{2ab}{a^2-b^2}\) [প্রমাণিত]
(v) যদি \(\frac{sin\theta}{x}=\frac{cos\theta}{y}\) হয়, তাহলে দেখাই যে,
\(sin\theta-cos\theta\ =\ \frac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
সমাধানঃ
ধরি, \(\frac{sin\theta}{x}=\frac{cos\theta}{y}=k\) [যেখানে, k\neq0]
∴ \(sin\theta=xk\) এবং cos\theta=yk\)
\({sin}^2\theta+{cos}^2\theta=1\)
বা, \({(xk)}^2+{(yk)}^2=1\)
বা, \(x^2k^2+y^2k^2=1\)
বা, \(k^2(x^2+y^2)=1\)
বা, \(k^2=\frac{1}{(x^2+y^2)}\)
∴ \(k=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
∴ \(sin\theta-cos\theta\)
\(=x\times\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}-y\times\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(=\frac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}\) [প্রমাণিত]
(vi) যদি \((1+4x^2)cosA=4x\) হয়, তাহলে দেখাই যে, \(cosecA+cotA=\frac{1+2x}{1-2x}\)
সমাধানঃ
\(\left(1+4x^2\right)cosA=4x\)
∴ \(cosA=\frac{4x}{\left(1+4x^2\right)}\)
যেহেতু, \({sin}^2A+{cos}^2A=1\)
∴ \(sinA=\sqrt{1-{cos}^2A}\)
\(=\sqrt{1-\frac{{16x}^2}{\left(1+4x^2\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{{\left(1+4x^2\right)^2-16x}^2}{\left(1+4x^2\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{{\left(1+4x^2\right)^2-4.1.4x}^2}{\left(1+4x^2\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\left(1-4x^2\right)^2}{\left(1+4x^2\right)^2}}=\frac{1-4x^2}{1+4x^2}\)
∴ \(cosecA+cotA\)
\(=\frac{1}{sinA}+\frac{cosA}{sinA}\)
\(=\frac{1+cosA}{sinA}\)
\(=\frac{1+\frac{4x}{1+4x^2}}{\frac{1-4x^2}{1+4x^2}}\)
\(=\frac{\frac{1+4x^2+4x}{1+4x^2}}{\frac{1-4x^2}{1+4x^2}}\)
\(=\frac{1+4x^2+4x}{1-4x^2}\)
\(=\frac{\left(1\right)^2+\left(2x\right)^2+2.1.2x}{\left(1\right)^2-\left(2x\right)^2}\)
\(=\frac{\left(1+2x\right)^2}{(1+2x)(1-2x)}=\frac{1+2x}{1-2x}\) [প্রমাণিত]
7. যদি \(x=asin\theta\) এবং \(y=btan\theta\) হয়,
তাহলে প্রমাণ করি যে, \frac{a^2}{x^2}-\frac{b^2}{y^2}=1\)
সমাধানঃ
\(x=asin\theta\) এবং \(y=btan\theta\)
\(\frac{a^2}{x^2}-\frac{b^2}{y^2}\)
\(=\left(\frac{a}{x}\right)^2-\left(\frac{b}{y}\right)^2\)
\(=\left(\frac{a}{asin\theta}\right)^2-\left(\frac{b}{btan\theta}\right)^2\)
\(=\left(\frac{1}{sin\theta}\right)^2-\left(\frac{1}{tan\theta}\right)^2\)
\(={cosec}^2\theta-{cot}^2\theta\)
\(=1\) [প্রমাণিত]
8. যদি \(sin\theta+sin^2\theta=1\) হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে,
\(cos^2\theta+cos^4\theta=1\)
সমাধানঃ
\(sin\theta+{sin}^2\theta=1\)
বা, \(sin\theta=1-{sin}^2\theta\)
বা, \(sin\theta={cos}^2\theta\)
∴ \({cos}^2\theta=sin\theta\)
\({cos}^2\theta+{cos}^4\theta\)
\(={cos}^2\theta+\left({cos}^2\theta\right)^2\)
\(={cos}^2\theta+\left(sin\theta\right)^2\)
\(={cos}^2\theta+{sin}^2\theta\)
\(=1\) [প্রমাণিত]
9. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(i) যদি \(3x=cosec\alpha\) এবং \(\frac{3}{x}=\mathrm{cot\alpha}\) হয়, তাহলে
\(3\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)\) এর মান
(a)\ \(\frac{1}{27}\) (b) \(\frac{1}{81}\) (c) \(\frac{1}{3}\) (d) \(\frac{1}{9}\)
\({cosec}^2\alpha-{cot}^2\alpha=1\)
বা, \(\left(3x\right)^2-\left(\frac{3}{x}\right)^2=1\)
বা, \({9x}^2-\frac{9}{x^2}=1\)
বা, \(9\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)=1\)
∴ \(3\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{1}{3}\)
উত্তরঃ (c)\(\frac{1}{3}\)
(ii) যদি \(2x=secA\) এবং \(\frac{2}{x}=tanA\) হয়, তাহলে \(2\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)\)
এর মান
(a) \(\frac{1}{2}\) (b) \(\frac{1}{4}\) (c) \(\frac{1}{8}\) (d) \(\frac{1}{6}\)
\({sec}^2A-{tan}^2A=1\)
বা, \(\left(2x\right)^2-\left(\frac{2}{x}\right)^2=1\)
বা, \({4x}^2-\frac{4}{x^2}=1\)
বা, \(4\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)=1\)
∴ \(2\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (a) \(\frac{1}{2}\)
(iii) \(tan\alpha+cot\alpha=2 হলে, \((tan^{13}\alpha+cot^{13}\alpha) এর মান
(a) 1 (b) 0 (c) 2 (d) কোনটিই নয়
\(tan\alpha+cot\alpha=2\)
বা, \(tan\alpha+\frac{1}{tan\alpha}=2\)
বা, \(\frac{{tan}^2\alpha+1}{tan\alpha}=2\)
বা, \({tan}^2\alpha+1=2tan\alpha\)
বা, \({tan}^2\alpha-2tan\alpha+1=0\)
বা, \(\left(tan\alpha-1\right)^2=0\)
বা, \(tan\alpha-1=0\)
∴ \(tan\alpha=1\)
\(\tan^{13}{\alpha}+\cot^{13}{\alpha}=1^{13}+\frac{1}{1^{13}}=2\)
উত্তরঃ (c) 2
(iv) যদি \(sin\theta-cos\theta=0(0°≤θ≤90°)\) এবং
\(sec\theta+cosec\theta=x\) হয়, তাহলে x এর মান
(a) 1 (b) 2 (c) \(\sqrt2\) (d)\ \(2\sqrt2\)
\(sin\theta-cos\theta=0\)
বা, \(\left(sin\theta-cos\theta\right)^2=0^2\) [উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই]
বা, \({sin}^2\theta+{cos}^2\theta-2sin\theta cos\theta=0\)
বা, \(1-2sin\theta cos\theta=0\)
বা, \(-2sin\theta cos\theta=-1\)
∴ \(sin\theta cos\theta=\frac{1}{2}\)
\({(sin\theta+cos\theta)}^2\)
\(={(sin\theta-cos\theta)}^2+4sin\theta cos\theta\)
\(=0+4\times\frac{1}{2}=2\)
∴ \(sin\theta+cos\theta=\sqrt2\)
\(sec\theta+cosec\theta=x\)
বা, \(\frac{1}{cos\theta}+\frac{1}{sin\theta}=x\)
বা, \(\frac{sin\theta+cos\theta}{sin\theta cos\theta}=x\)
বা, \(\frac{\sqrt2}{\frac{1}{2}}=x\)
∴ \(x=\sqrt2\times\frac{2}{1}=2\sqrt2\)
উত্তরঃ (d)\ \(2\sqrt2\)
(v) \(2cos3\theta=1\) হলে, \(\theta\) এর মান
(a) \(10°\) (b) \(15°\) (c) \(20°\) (d) \(30°\)
\(2cos3\theta=1\)
বা, \(cos3\theta=\frac{1}{2}\)
বা, \(cos3\theta=cos60°\)
বা, \(3\theta=60°\)
∴ \(\theta=20°\)
উত্তরঃ (c) \(20°\)
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i) যদি \(0°≤α≤90°\) হয়, তাহলে \((sec^2\alpha+cos^2\alpha)\) এর সর্বনিম্ন মান 2
\({sec}^2\alpha+{cos}^2\alpha\)
\(={(sec\alpha-cos\alpha)}^2+2sec\alpha cos\alpha\)
\(={(sec\alpha-cos\alpha)}^2+2\)
যেহেতু, কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যার সর্বনিম্ন নাম 0
∴ \({sec}^2\alpha+{cos}^2\alpha\) এর সর্বনিম্ন মান 2
উত্তরঃ সত্য
(ii) \((cos0°×cos1°×cos2°×cos3°×……cos90°)\) এর মান 1
\(cos0°×cos1°×cos2°×cos3°×……cos90°\)
\(=1\times cos1°×cos2°×cos3°×……×0\)
\(=0\)
উত্তরঃ মিথ্যা
(C) শূণ্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) \(\left(\frac{4}{sec^2\theta}+\frac{1}{1+cot^2\theta}+3sin^2\theta\right)\) এর মান __________
\(\frac{4}{sec^2\theta}+\frac{1}{1+cot^2\theta}+3sin^2\theta\)
\(=\frac{4}{sec^2\theta}+\frac{1}{co{sec}^2\theta}+3sin^2\theta\)
\(={4cos}^2\theta+sin^2\theta+3sin^2\theta\)
\(={4cos}^2\theta+4sin^2\theta\)
\(={4(cos}^2\theta+4sin^2\theta)\ \)
\(=4\times1\ =\ 4\)
উত্তরঃ 4
(ii) \(sin(\theta-30°)=12\) হলে, \(cos\theta\) এর মান _________
\(sin(\theta-30°)=12\)
বা, \(sin(\theta-30°)=sin30°\)
বা, \(\theta-30°=30°\)
বা, \(\theta=30°+30°\)
∴ \(\theta=60°\)
∴ \(cos\theta=cos60°=12\)
উত্তরঃ \(\frac{1}{2}\)
(iii) \(cos^2\theta-sin^2\theta=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\)হলে, \(cos^4\theta-sin^4\theta\) এর মান _______
\({cos}^4\theta-{sin}^4\theta\)
\(=\left({cos}^2\theta\right)^2-\left({sin}^2\theta\right)^2\)
\(=({cos}^2\theta+{sin}^2\theta)({cos}^2\theta-{sin}^2\theta)\ \)
\(=1\times\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ \(\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\)
10. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন\ (S.A.)
(i) যদি \(rcos\theta=2\sqrt3\), \(rsin\theta\ =2\) এবং \(0°≤θ≤90°\) হয়,
তাহলে r এবং \(\theta\) উভয়ের মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(rcos\theta=2\sqrt3\) ∴ \(cos\theta=\frac{2\sqrt3}{r}\) (i)
\(rsin\theta=2\) ∴ \(sin\theta=\frac{2}{r}\)
যেহেতু, \({sin}^2\theta+{cos}^2\theta=1\)
বা, \(\left(\frac{2}{r}\right)^2+\left(\frac{2\sqrt3}{r}\right)^2=1\)
বা, \(\left(\frac{2}{r}\right)^2+\left(\frac{2\sqrt3}{r}\right)^2=1\)
বা, \(\frac{4}{r^2}+\frac{12}{r^2}=1\)
বা, \(\frac{4+12}{r^2}=1\)
বা, \(r^2=16\) ∴ \(r=4\)
(i) নং সমীকরণে \(r=4\) বসিয়ে পাই
\(cos\theta=\frac{2\sqrt3}{4}\)
বা, \(cos\theta=\frac{\sqrt3}{2}\)
বা, \(cos\theta=cos30°\)
∴ \ \(\theta=30°\)
∴ \(r=4\) এবং \(\theta=30°\)
(ii) যদি \(sinA+sinB=2\) হয়, যেখানে \(0°≤A≤90°\) এবং
\(0°≤B≤90°\), তাহলে \((cosA+cosB)\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(sinA+sinB=2\) (i)
যেহেতু, \(0°≤A≤90°\) এবং \(0°≤B≤90°\)
∴ \(sinA\) এর সর্বোচ্চ মান 1 এবং \(sinB\) এর সর্বোচ্চ মান 1 হলে (i) নং সমীকরণটি সিদ্ধ হবে
\(sinA=1\) হলে\ \(A=90°\)
এবং \(sinB=1\) হলে \(B=90°\)
∴ \(cosA+cosB\)
\(=cos90°+cos90°\)
=0+0=0
(iii) যদি 0°≤θ≤90° হয়, তাহলে \((9tan^2θ+4cot^2θ)\) এর সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\(9{tan}^2\theta+4{cot}^2\theta\)
= \(\left(3tan\theta\right)^2+\left(2cot\theta\right)^2\)
= \(\left(3tan\theta-2cot\theta\right)^2+2\times3tan\theta\times2cot\theta\)
= \(\left(3tan\theta-2cot\theta\right)^2+12\)
যে কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যামালার সর্বনিম্ন মান 0
সুতরাং, \(\left(3tan\theta-2cot\theta\right)^2\) সর্বনিম্ন মান 0
∴ \(9{tan}^2\theta+4{cot}^2\theta\) এর সর্বনিম্ন মান 12
\(9{tan}^2\theta+4{cot}^2\theta\)
= \(\left(3tan\theta\right)^2+\left(2cot\theta\right)^2\)
= \(\left(3tan\theta+2cot\theta\right)^2-2\times3tan\theta\times2cot\theta\)
= \(\left(3tan\theta+2cot\theta\right)^2-12\)
যে কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যামালার সর্বনিম্ন মান 0
সুতরাং \(\left(3tan\theta+2cot\theta\right)^2\) সর্বনিম্ন মান 0
∴ \(9{tan}^2\theta+4{cot}^2\theta\) এর সর্বনিম্ন মান -12
আবার দুটি বর্গ সংখ্যামালার সমষ্টি ঋণাত্মক হতে পারে না।
তাই \(9{tan}^2\theta+4{cot}^2\theta\) এর সর্বনিম্ন মান 12
(iv) \((sin^6\alpha+cos^6\alpha+3sin^2\alpha cos^2\alpha)\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\({sin}^6\alpha+{cos}^6\alpha+{3sin}^2\alpha{cos}^2\alpha\)
\(=\left({sin}^2\alpha\right)^3+\left({cos}^2\alpha\right)^3+\)
\({3sin}^2\alpha{cos}^2\alpha({sin}^2\alpha{+cos}^2\alpha)\)
\(=\left({sin}^2\alpha+{cos}^2\alpha\right)^3\)
\(=\left(1\right)^3\)
\(=1\)
(v) যদি \(cosec^2\theta=2cot\theta\) এবং \(0°≤θ≤90°\) হয়, তাহলে \(\theta\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\({cosec}^2\theta=2cot\theta\)
বা, \(1+{cot}^2\theta-2cot\theta=0\)
বা, \(\left(cot\theta\right)^2-2\times cot\theta\times1+\left(1\right)^2=0\)
বা, \(\left(cot\theta-1\right)^2=0\)
বা, \(cot\theta-1=0\)
বা, \(cot\theta=1\)
বা, \(cot\theta=cot45°\)
∴ \(\theta=45°\)
0 Comments