7. AB=BC এবং ∠BAC+∠ACB=50°; ∆ABC এর কোণগুলির পরিমাপ লিখি।
সমাধানঃ
∆ABC এর AB=BC
∴ \(\angle BAC=\angle ACB\)
\(\angle BAC+\angle ACB=50°\)
বা, \(\angle BAC+\angle BAC=50°\)
বা, \(2\angle BAC=50°\)
∴ \(\angle BAC=25°\)
∴ \(\angle BAC=\angle ACB=25°\)
∆ABC থেকে পাই,
\(\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°\)
বা, \(\angle ABC+50°=180°\) [ ∵ \(\angle BAC+\angle ACB=50°\) ]
বা, \(\angle ABC=180°-50°\)
∴ \(\angle BAC=130°\)
সুতরাং, \(\angle BAC=\angle ACB=25°\)
এবং \(\angle BAC=130°\)
8. ∆ABC এর অন্তঃস্থ একটি বিন্দু O; প্রমাণ করি যে \(\angle BOC>\angle BAC\)
প্রদত্তঃ ∆ABC এর অন্তঃস্থ একটি বিন্দু O
প্রামাণ্যঃ \(\angle BOC>\angle BAC\)
অঙ্কনঃ BO কে বর্ধিত করা হল যা AC বাহুকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণঃ
∆POC এর বহিস্থঃকোণ \(\angle BOC=\angle OPC+\angle OCP\)
∴ \(\angle BOC>\angle OPC\) (1)
আবার, ∆ABP এর বহিস্থঃকোণ \(\angle BPC=\angle ABP+\angle BAP\)
∴ \(\angle BPC>\angle BAP\)
বা, \(\angle OPC>\angle BAC\) (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
\(\angle BOC>\angle BAC\) [প্রমাণিত]
9. প্রমাণ করি যে, ∆ABC এর BC বাহুকে উভয়দিকে বাড়ালে যে দুটি বহিঃকোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি 2 সমকোণের বেশি।
প্রদত্তঃ ∆ABC এর BC বাহুকে উভয়দিকে বাড়ানোর ফলে দুটি বহিঃকোণ \(\angle ABP\) এবং \(\angle ACQ\) উৎপন্ন হল।
প্রামাণ্যঃ \(\angle ABP+\angle ACQ>180°\)
প্রমাণঃ
∆ABC এর বহিস্থঃকোণ
\(\angle ABP=\angle ACB+\angle BAC\) (1)
∆ABC এর বহিস্থঃকোণ
\(\angle ACQ=\angle ABC+\angle BAC\) (2)
(1)+(2) করে পাই,
\(\angle ABP+\angle ACQ\)
\(=\angle ACB+\angle BAC+\angle ABC+\angle BAC\)
বা, \(\angle ABP+\angle ACQ=180°+∠BAC\)
[∵ ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°]
∴ \(\angle ABP+\angle ACQ>180°\) [প্রমাণিত]
10. ∆ABC এর কৌনিক বিন্দু A ও C দিয়ে যথাক্রমে BC ও BA বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ D বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে, \(\angle ABC=\angle ADC\)
প্রদত্তঃ ∆ABC এর কৌনিক বিন্দু A ও C দিয়ে যথাক্রমে BC ও BA বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাংশ D বিন্দুতে মিলিত হয়।
অর্থাৎ, AD||BC এবং CD||BA
প্রামাণ্যঃ \(\angle ABC=\angle ADC\)
প্রমাণঃ ∆ABC থেকে পাই,
\(\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°\) (1)
∆ADC থেকে পাই,
\(\angle ADC+\angle ACD+\angle CAD=180°\) (2)
AD||BC এবং AC ছেদক
∴ \(\angle BCA\ =\angle CAD\) [একান্তর কোণ] (3)
CD||BA এবং AC ছেদক
∴ \(\angle BAC=\angle ACD\) [একান্তর কোণ] (4)
(3) নং ও (4) নং যোগ করে পাই,
\(\angle BCA+\angle BAC=\angle ACD\ +\angle CAD\)
বা, \(180°-∠ABC=180°-∠ADC\) [ (1) নং ও (2) নং থেকে পাই]
∴ \(\angle ABC=\angle ADC\) [প্রমাণিত]
11. ∆ABC এর \(\angle ABC\) ও \(\angle ACB\) এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয়।
প্রমাণ করি যে, \(\angle BOC=90°+\frac{1}{2}∠BAC\)
প্রদত্তঃ ∆ABC এর \(\angle ABC\) ও \(\angle ACB\) এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয়।
প্রামাণ্যঃ \(\angle BOC=90°+12∠BAC\)
প্রমাণঃ
\(\angle ABC\) এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডক BO
∴ \(\angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC\) (1)
\(\angle ACB\) এর অন্তঃসমদ্বিখন্ডক CO
∴ \(\angle OCB=\frac{1}{2}\angle ACB\) (2)
∆ABC থেকে পাই,
\(\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°\) (3)
∆OBC থেকে পাই,
\(\angle OBC+\angle OCB+\angle BOC=180°\) (4)
বা, \(\frac{1}{2}\angle ABC+\frac{1}{2}\angle ACB+\angle BOC=180°\)
বা, \(\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)+\angle BOC=180°\)
বা, \(\frac{1}{2}(180°-∠ABC)+∠BOC=180°\)
বা, \(90°-\frac{1}{2}∠BAC+∠BOC=180°\)
বা, \(\angle BOC=180°-90°-\frac{1}{2}∠BAC\)
∴ \(\angle BOC=90°+\frac{1}{2}∠BAC\) [প্রমাণিত]
13. ∆ABC এর \(\angle ACB\) এর বহিঃসমদ্বিখন্ডক A বিন্দু দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল সরলরেখাকে D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, \(\angle ADC=90°-\frac{1}{2}∠ACB\)
প্রদত্তঃ ∆ABC এর \(\angle ACB\) এর বহিঃকোণ \(\angle ACP\);
\(\angle ACP\) এর সমদ্বিখণ্ডক CD এবং AD||BC
প্রামাণ্যঃ \(\angle ADC=90°-12∠ACB\)
প্রমাণঃ BP সরলরেখার উপর CA লম্ব
∴ \(\angle ACP+\angle ACB=180°\)
বা, \(\angle ACP=180°-∠ACB\) (1)
\(\angle ACP\) এর সমদ্বিখণ্ডক CD
∴ \(\angle DCP=\frac{1}{2}\angle ACP\) (2)
AD||BC এবং CD ছেদক
∴ \(\angle DCP=\) একান্তর \(\angle ADC\) (3)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
\(\angle DCP=\frac{1}{2}(180°-∠ACB) \) (4)
(3) নং ও (4) নং থেকে পাই,
\(\angle ADC=\frac{1}{2}\ (180°-∠ACB)\)
∴ \(\angle ADC=90°-12∠ACB\) [প্রমাণিত]
14. প্রমাণ করি যে, একটি ত্রিভুজের শীর্ষকোণের সমদ্বিখন্ডক এবং শীর্ষকোণ থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের অন্তর্ভুক্ত কোণ ত্রিভুজের ভূমিস্থ কোণদ্বয়ের অন্তরের অর্ধেক।প্রদত্তঃ ∆ABC এর সমদ্বিখন্ডক AP, BC বাহুকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দু থেকে AD লম্ব যা BC কে D বিন্দুতে
ছেদ করেছে। ধরি, \(\angle ABC>\angle ACB\)
প্রামাণ্যঃ \(\angle DAP=\frac{1}{2}(\angle ABC-\angle ACB)\)
প্রমাণঃ \(\angle BAC\) এর সমদ্বিখন্ডক AP
∴ \(\angle CAP=\angle BAP\)
ABD সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\angle ABD=90°-∠BAD\) (1)
ADC সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই,
\(\angle ACD=90°-∠CAD\) (2)
(2)-(1) করে পাই,
\(\angle ABD-\angle CAD=90°-∠BAD-90°+∠CAD\)
বা, \(\angle ABC-\angle ACB\)
\(=\angle CAD-\angle BAD\)
\(=\angle CAP+\angle DAP-(\angle BAP-\angle DAP)\)
\(=\angle BAP+\angle DAP-\angle BAP+\angle DAP\)
\(=2\angle DAP\)
∴ \(\angle DAP=\frac{1}{2}(\angle ABC-\angle ACB)\) [প্রমাণিত]
15. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমির একটি কোণ শীর্ষকোণের দ্বিগুন। ত্রিভুজটির কোণগুলির পরিমাপ লিখি।
ধরি, ∆ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ যার AB=AC
∴ \(\angle ABC=\angle ACB\)
মনে করি, \(\angle BAC=x°\)
∴ \(\angle ABC=\angle ACB=2x°\)
∆ABC থেকে পাই
\(\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°\)
∴ \(2x+2x+x=180\)
বা, \(5x=180\)
বা, \(x=\frac{180}{5}\)
∴ \(x=36\)
∴ \(\angle BAC=36°\)
এবং \(\angle ABC=\angle ACB\)\(=2\times36°\) = 72°
16. ∆ABC এর \(\angle BAC=90°\) এবং \(\angle BCA=30°;\) প্রমাণ করি যে, \(AB=\frac{1}{2}BC\).
প্রদত্তঃ
∆ABC এর \(\angle BAC=90°\) এবং \(\angle BCA=30°\)
প্রামাণ্যঃ \(AB=\frac{1}{2}BC\)
অঙ্কনঃ BC বাহুর উপর D এমন একটি বিন্দু নিলাম যাতে AB=BD হয়।
প্রমাণঃ
∆ABC থেকে পাই,
\(\angle ABC=180°-∠BAC-∠BCA\)
∴ \(\angle ABC=180°-90°-30°=60°\)
∆ABD এর AB=BD
∴ \(\angle ADB=\angle BAD\)
∆ABD থেকে পাই,
\(\angle ABD+\angle ADB+\angle BAD=180°\)
বা, \(60°+∠BAD+∠BAD=180°\) [∵∠BAD=∠ADB]
বা, \(2\angle BAD=180°-60°\)
বা, \(2\angle BAD=120°\)
∴ \(\angle BAD=60°\)
∴ \(\angle ABD=\angle ADB=\angle BAD=60°\) সুতরাং,\ ∆ABD একটি সমবাহু ত্রিভুজ
∴ AB=AD=BD (1)
\(\angle CAD=90°-∠BAD\)\(=90°-60°=30°\)
∆ACD এর \(\angle CAD=30°=∠DCA\)
∴ CD=AD (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
AB=BD=CD
BC=BD+CD=AB+AB=2AB
∴ \(AB=\frac{1}{2}BC\) [প্রমাণিত]
17. ∆XYZ এর \(\angle XYZ=90°\) এবং \(XY=\frac{1}{2}XZ;\) প্রমাণ করি যে, \(\angle YXZ=60°\)
প্রদত্তঃ ∆XYZ এর \(\angle XYZ=90°\) এবং \(XY=\frac{1}{2}XZ\)
প্রামাণ্যঃ \(\angle YXZ=60°\)
অঙ্কনঃ Y বিন্দু থেকে \(\angle Z\)এর সমান করে \(\angle PYZ\) অঙ্কন করলাম।
প্রমাণঃ
∆PYZ এর \(\angle PYZ=\angle PZY\) [অঙ্কনানুসারে]
∴ PY=PZ (1)
ধরি, \(\angle PYZ=\angle PZY=a\)
XYZ সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পাই
\(\angle YXZ=90°-∠XZY\)
∴ \(\angle PXY=90°-a\)
\(\angle XYP+\angle PYZ=90°\)
বা, \(\angle XYP+a=90°\)
∴ \(\angle XYP=90°-a\)
∆PXY ত্রিভুজের \(\angle PXY=\angle XYP=90°-a\) (2)
∴ XP=PY (3)
(1) নং ও (3) নং থেকে পাই,
XP=PZ
∴ \(PX=\frac{1}{2}XZ\)
আবার \(XY=\frac{1}{2}XZ\)
∴ PX=XY
∆XPY এর PX=XY
∴ \(\angle XPY=\angle XYP\) (4)
(2) নং ও (4) নং থেকে পাই,
\(\angle XPY=\angle XYP=\angle PXY\)
∆XPY এর
\(\angle XPY+\angle XYP+\angle PXY=180°\)
বা, \(\angle PXY+\angle PXY+\angle PXY=180°\)
বা, \(3\angle PXY=180°\)
∴ \(\angle PXY=60°\)
∴ \(\angle YXZ=60°\) [প্রমাণিত]
18. প্রমাণ করি যে, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান 60°
প্রদত্তঃ ABC সমবাহু ত্রিভুজের AB=BC=CA
প্রামাণ্যঃ \(\angle ABC=\angle ACB=\angle BAC=60°\)
প্রমাণঃ
∆ABC এর AB=AC
∴ \(\angle ACB=\angle ABC\) (1)
আবার, ∆ABC এর AB=BC
∴ \(\angle ACB=\angle BAC\) (2)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
\(\angle ABC=\angle ACB=\angle BAC\)
∆ABC থেকে পাই,
\(\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°\)
বা, \(\angle ABC+\angle ABC+\angle ABC=180°\)
বা, \(3\angle ABC=180°\)
∴ \(\angle ABC=60°\)
∴ \(\angle ABC=\angle ACB=\angle BAC=60°\) [প্রমাণিত]
19. ABC ত্রিভুজের \(\angle BAC\) এর সমদ্বিখন্ডক এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু D দিয়ে AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা পরস্পর BC বাহুর বাইরে E বিন্দুতে মিলিত হয়। প্রমাণ করি যে, \(\angle AEC=1\) সমকোণ।
প্রদত্তঃ ABC ত্রিভুজের \(\angle BAC\) এর সমদ্বিখন্ডক এবং AC বাহুর মধ্যবিন্দু D দিয়ে AB বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা পরস্পর BC বাহুর বাইরে E বিন্দুতে মিলিত হয়।
প্রামাণ্যঃ \(\angle AEC=1\) সমকোণ
প্রমাণঃ AB||DE এবং AE ছেদক
∴ \(\angle BAE=\angle AED\) [একান্তর কোণ]
আবার, \(\angle BAC\) এর সমদ্বিখণ্ডক AE
∴ \(\angle BAE=\angle EAC\)
∴ \(\angle AED=\angle EAD\) [∵ \(\angle BAE=\angle AED\)] (1)
∆ADE এর \(\angle AED=\angle EAD\)
∴ AD=DE (2)
D, AC বাহুর মধ্যবিন্দু
∴ AD=DC (3)
(2) নং ও (3) নং থেকে পাই, DE=DC
∆CDE এর DE=DC
∴ \(\angle DCE=\angle DEC\) (4)
∆AEC থেকে পাই,
\(\angle AEC+\angle ACE+\angle EAC=180°\) (5)
(1)+(3) করে পাই,
\(\angle AED+\angle DEC=\angle EAD+\angle DCE\)
বা, \(\angle AEC=\angle EAC+\angle ACE\)
বা, \(\angle AEC\ =180°-∠AEC\) [(5) নং থেকে পাই]
বা, \(\angle AEC+\angle AEC=180°\)
বা, \(2\angle AEC=180°\)
∴ \(\angle AEC=90°\)
∴ \(\angle AEC=1\) সমকোণ [প্রমাণিত]
0 Comments