15. বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য | কষে দেখি 15.2 | Exercise 15.2 solution | গণিত প্রকাশ X সমাধান | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
কষে দেখি 15.2 সমাধান
1. 16 সেমি. দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট একটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 17 সেমি. দূরত্ব অবস্থিত বহিঃস্থ একটি বিন্দু থেকে অঙ্কিত বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 17 সেমি. দূরে অবস্থিত একটি বিন্দু A
∴ OA=17 সেমি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য, OB=\(\frac{16}{2}\) সেমি. =8 সেমি.
সমকোণী ∆AOB থেকে পাই,
\(OA^2=OB^2+AB^2\) [পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই]
∴ \(AB^2=\ OA^2-OB^2\)
বা, \(AB^2=\ \left\{\left(17\right)^2-\left(8\right)^2\right\}\) বর্গসেমি.
=(289-64) বর্গসেমি.
=225 বর্গসেমি.
∴ \(AB=\sqrt{225}\) সেমি. =15 সেমি.
∴ বৃত্তটির স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 15 সেমি.
2. একটি বৃত্তের উপর অবস্থিত P ও Q বিন্দু দুটিতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি A বিন্দুতে ছেদ করেছে। \(\angle PAQ=60°\) হলে \(\angle APQ\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AP ও AQ দুটি
স্পর্শক যাদের স্পর্শবিন্দু যথাক্রমে P ও Q
∴ AP=AQ
∆APQ এর AP=AQ
∴ \(\angle\ APQ=\angle\ AQP=\frac{180°-∠PAQ}{2}\)
\(=\frac{180°-60°}{2}=60°\)
∴ \(\angle APQ=60°\)
3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AP ও AQ বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। PR একটি ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে, OA||RQ
প্রদত্তঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক AP ও AQ বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করে। PR একটি ব্যাস।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ OA||RQ
অঙ্কনঃ O,Q যুক্ত করা হল ।
প্রমাণঃ
PQ বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠POQ এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠PRQ
∴ ∠POQ=2∠PRQ (I)
যেহেতু, বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে যে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায় তারা কেন্দ্রে সমান কোণ উৎপন্ন করে।
সুতরাং, ∠AOP=∠AOQ
আবার ∠POQ=2∠AOP [∵ ∠AOP=∠AOQ]
(I) নং ও (II) নং থেকে পাই,
2∠ORQ=2∠AOP
∴ ∠ORQ=∠AOP
আবার OA ও RQ কে PR ছেদ করায় ∠ORQ ও ∠AOP পরস্পর অনুরূপ কোণ।
∴ OA||RQ [প্রমাণিত]
4. প্রমাণ করি যে, একটি বৃত্তের পরিলিখিত কোনো চতুর্ভুজের যে-কোনো দুটি বিপরীত বাহুর দ্বারা উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ সম্মুখ কোণ দুটি পরস্পর সম্পূরক।
প্রদত্তঃ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি পরিলিখিত চতুর্ভুজটি বৃওকে যথাক্রমে P, Q, R ও S স্পর্শ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
\(\angle AOB+\angle COD=180°\)
প্রমাণঃ
বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি হল AP ও AS
∴ \(\angle\ AOP=\angle\ AOS=\frac{1}{2}\angle\ POS\)
একইরকমভাবে, B, C ও D বিন্দুর ক্ষেত্রে
\(\angle\ BOP=\frac{1}{2}\angle\ POQ,\ \angle\ COR=\frac{1}{2}\angle\ QOR\)
এবং \(\angle\ DOR=\frac{1}{2}\angle\ ROS\)
\(\angle\ AOP+\angle\ BOP+\angle\ COR+\angle\ DOR\)
\(=\frac{1}{2}\angle\ POS+\frac{1}{2}\angle\ POQ\)
\(+\frac{1}{2}\angle\ QOR+\frac{1}{2}\angle\ ROS\)
\(=\frac{1}{2}(\angle\ POS+\angle\ POQ\)
\(+\angle\ QOR+\angle\ ROS)\)
\(=\frac{1}{2}\times360°=180°\)
∴ \(\angle\ AOP+\angle\ BOP\)
\(+\angle\ COR+\angle\ DOR\ =\ 180°\)
বা, \((\angle\ AOP+\angle\ BOP)\)
\( +\ (\angle\ COR+\angle\ DOR)\ =\ 180°\)
∴ \(\angle\ AOB\ +\ \angle\ COD\ =\ 180°\) [প্রমাণিত]
5. প্রমাণ করি যে, বৃত্তের পরিলিখিত সামান্তরিক মাত্রই রম্বস।
প্রদত্তঃ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি পরিলিখিত সামান্তরিক বৃত্তকে যথাক্রমে P,Q,R ও S বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ ABCD একটি রম্বস।
প্রমাণঃ বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি হল AP ও AS
∴ AP=AS
অনুরূপভাবে BP=BQ,CQ=CR এবং DR=DS
AB+CD=AP+BP+CR+DR
=AS+BQ+CQ+DS
=(AS+DS)+(BQ+CQ)
=AD+BC
যেহেতু, ABCD একটি সামান্তরিক
∴ AB=CD এবং AD=BC
∴ AB+AB=AD+AD
বা, 2AB=2AD
∴ AB=AD
ABCD সামান্তরিকের AB=AD
∴ ABCD একটি রম্বস। [প্রমাণিত]
6. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর O একটি বিন্দু এবং OD ও OE যথাক্রমে A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। ∠COD=56°,∠COE=40°,∠ACD=x° এবং ∠BCE=y° হলে প্রমাণ করি যে OD=OC=OE এবং x-y=8
প্রদত্তঃ A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। C বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর O একটি বিন্দু এবং OD ও OE যথাক্রমে A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তকে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে স্পর্শ করেছে। \(\angle COD=56°\),
\(\angle COE=40°,∠ACD=x°\) এবং \(\angle BCE=y°\)
প্রমাণ করতে হবে যেঃ OD=OC=OE এবং x-y=8
অঙ্কনঃ A, D এবং B, E যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ
A কেন্দ্রীয় বৃত্তের OD ও OC স্পর্শক
∴ OD = OC (1)
এবং \(\angle ADO=\angle ACO=90°\)
B কেন্দ্রীয় বৃত্তের OE ও OC স্পর্শক
∴ OE = OC (2)
এবং \(\angle BEO=\angle BCO=90°\)
(1) নং ও (2) নং থেকে পাই,
∴ OD=OC=OE [প্রমাণিত]
ACOD চতুর্ভুজ থেকে পাই,
\(\angle CAD\)
\(=360°-∠ADO-∠COD-∠ACO\)
\(=360°-90°-56°-90°=124°\)
BCOE চতুর্ভুজ থেকে পাই,
\(\angle CBE\)
\(=360°-∠BEO-∠COE-∠BCO\)
\(=360°-90°-40°-90° = 140°\)
∆ACD এর AC=AD
∴ \(\angle\ ADC=\angle\ ACD\)
\(=\frac{180°-∠CAD}{2}\)
\(=\frac{180°-124°}{2}\)
\(=\frac{56°}{2}=28°\)
∆BCE এর BC=BE
∴ \(\angle\ BEC=\angle\ BCE\)
\(=\frac{180°-∠CBE}{2}\)
\(=\frac{180°-140°}{2}\)
\(=\frac{40°}{2}=20°\)
\(\angle\ ACD-\angle\ BCE=28°-20°\)
বা, \(x°-y°=8°\)
∴ \(x-y=8\) [প্রমাণিত]
7. A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি নির্দিষ্ট বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। অপর একটি বৃত্ত বৃহত্তর বৃত্তটিকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ এবং ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O যদি ওই বৃত্তের কেন্দ্র হয়,
তবে প্রমাণ করি যে, AO+BO ধ্রুবক হবে।
প্রদত্তঃ A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি নির্দিষ্ট বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করেছে। O কেন্দ্রীয় বৃত্তটি বৃহত্তর বৃত্তটিকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ এবং ক্ষুদ্রতর বৃত্তটিকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ AO+BO= ধ্রুবক
প্রমাণঃ
A ও O কেন্দ্রীয় বৃত্তদুটি পরস্পরকে Y বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
∴ Y বিন্দুটি OA এর উপর অবস্থিত।
B ও O কেন্দ্রীয় বৃত্তদুটি পরস্পরকে X বিন্দুতে অন্তঃস্পর্শ করেছে।
∴ X বিন্দুটি বর্ধিত BO এর উপর অবস্থিত।
AO+BO=AY+YO+BX-XO
=AY+BX+YO-YO
[ ∵ YO=XO=O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ ]
∴ AO+BO=AY+BX
=A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের সমষ্টি
∴ AO+BO= ধ্রুবক [প্রমাণিত]
8. A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, AP||BQ.
প্রদত্তঃ A ও B কেন্দ্রীয় দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে। O বিন্দু দিয়ে একটি
সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা বৃত্ত দুটিকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ AP||BQ
প্রমাণঃ
∆AOP এর মধ্যে AP=AO
∴ ∠AOP=∠APO
এবং ∆BOQ এর মধ্যে BQ=BO
∴ ∠BOQ=∠BQO
∠BOQ= বিপ্রতীপ ∠AOP
∆AOP থেকে পাই,
∠OAP=180°-2∠AOP
∆BOQ থেকে পাই,
∠OBQ = 180°-2∠BOQ
=180°-2∠AOP=∠OAP
∴ ∠OBQ = ∠OAP
∴ ∠ABQ = ∠BAP
কিন্তু এরা একান্তর কোণ
∴ AP||BQ [প্রমাণিত]
9. তিনটি সমান বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করেছে। প্রমাণ করি যে, ওই বৃত্ত তিনটির কেন্দ্রগুলি একটি সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু।
প্রদত্তঃ
ধরি, A,B ও C কেন্দ্রীয় সমান বৃত্ত তিনটি পরস্পরকে
যথাক্রমে P,Q ও R বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
∆ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
যেহেতু, A,B ও C কেন্দ্রীয় সমান বৃত্ত তিনটি পরস্পরকে যথাক্রমে P,Q ও R বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
∴ P,Q ও R যথাক্রমে AB,BC ও CA বাহুর উপর অবস্থিত।
ধরি, বৃত্ত তিনটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r
∴ AR=AP=r,BP=BQ=r এবং CQ=CR=r
AB=AP+BP=r+r=2r
একইরকমভাবে, BC=2r এবং CA=2r
∴ ∆ABC এর AB=BC=CA=2r
∴ ∆ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। [প্রমাণিত]
10. একটি বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে অঙ্কিত AB ও AC দুটি স্পর্শক বৃত্তকে B ও C বিন্দুতে স্পর্শ করে। উপচাপ BC এর উপর অবস্থিত X বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC কে যথাক্রমে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে প্রমাণ করি যে, ∆ADE এর পরিসীমা =2AB
প্রদত্তঃ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত AB ও AC দুটি স্পর্শক বৃত্তকে B ও C বিন্দুতে স্পর্শ করে। উপচাপ BC এর উপর অবস্থিত X বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক AB ও AC কে যথাক্রমে D ও F বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ ∆ADE এর পরিসীমা =2AB
প্রমাণঃ
যেহেতু O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি AB ও AC
∴ AB=AC
আবার, O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু D থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি DB ও DX এবং E থেকে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি EX ও EC
∴ DB=DX এবং EX=EC
∆ADE এর পরিসীমা
=AD+DE+AE
=AB-BD+DX+EX+AC-CE
=AB-BD+BD+EX+AB-EX
=2AB
∴ ∆ADE এর পরিসীমা =2AB [প্রমাণিত]
11. অতিসংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহুবিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.)
(i) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের বহিঃস্থ A বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক বৃত্তকে B বিন্দুতে স্পর্শ করে। OB=5 সেমি., AO=13 সেমি. হলে, AB -এর দৈর্ঘ্য
(a) 12 সেমি. (b) 13 সেমি. (c) 6.5 সেমি. (d) 6 সেমি.
সমকোণী ∆AOB থেকে পাই
\(AO^2=AB^2+OB^2\) [পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই]
বা, \(AB^2=AO^2-OB^2\)
\(=\left\{\left(13\right)^2-\left(5\right)^2\right\}\) বর্গসেমি.
\(=(169-25)\) বর্গসেমি.
\(=144\) বর্গসেমি.
∴ \(AB=12\) সেমি.
উত্তরঃ (a) 12 সেমি.
(ii) দুটি বৃত্ত পরস্পরকে C বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে। AB বৃত্ত দুটি একটি সাধারণ স্পর্শক বৃত্ত দুটিকে A ও B বিন্দুতে স্পর্শ করে। \(\angle ACB\) এর পরিমাপ
(a) 60° (b) 45° (c) 30° (d) 90°
∆APC এর AP=PC
∴ ∠PAC=∠PCA
∆BPC এর BP=PC
∴ ∠PBC=∠PCB
∆APC এর বহিঃস্থ কোণ
∠BPC = ∠PAC+∠PCA
=2∠PCA
∆BPC এর বহিঃস্থ কোণ
∠APC=∠PBC+∠PCB
=2∠PCB
∴ ∠BPC+∠APC = 2∠PCA+2∠PCB
বা, 180°=2(∠PCA+∠PCB)
বা, ∠PCA+∠PCB=(180°)/2
∴ ∠ACB=90°
উত্তরঃ (d) 90°
(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি.। O বিন্দু থেকে 13 সেমি. দূরত্বে P একটি বিন্দু। P বিন্দু থেকে বৃত্তের দুটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য PQ এবং PR; PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
(a) 60 বর্গ সেমি. (b) 30 বর্গ সেমি.
(c) 120 বর্গ সেমি. (d) 150 বর্গ সেমি.
OQ=5 সেমি., OP=13 সেমি.
সমকোণী ∆POQ থেকে পাই,
\(OP^2=PQ^2+OQ^2\)
[থ্যালেসের উপপাদ্য থেকে পাই]
∴ \(PQ=\sqrt{{OP}^2-{OQ}^2}\)
\(=\sqrt{{13}^2-5^2}\) সেমি.
\(=\sqrt{169-25}\) সেমি. \(=\sqrt{144}\) সেমি. =12 সেমি.
∆POQ এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times12\times5\)\ বর্গসেমি. =30 বর্গসেমি.
∴ ∆POR=∆POQ=30 বর্গসেমি.
PQOR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
=∆POR + ∆POQ=(30+30) বর্গসেমি. =60 বর্গসেমি.
উত্তরঃ (a) 60 বর্গ সেমি.
(iv). দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. ও 3 সেমি.। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। বৃত্তদুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
(a) 2 সেমি. (b) 2.5 সেমি. (c) 1.5 সেমি. (d) 8 সেমি.
P ও Q কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে O বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করেছে।
PO=5 সেমি. এবং OQ=3 সেমি.
∴ বৃত্তদুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
=PO+OQ
=(5+3) সেমি. =8 সেমি.
উত্তরঃ (d) 8 সেমি.
(v) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 3.5 সেমি. ও 2 সেমি.। বৃত্ত দুটি পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করে। বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
(a) 5.5 সেমি. (b) 1 সেমি.
(c) 1.5 সেমি. (d) কোনটিই নয়
P ও Q কেন্দ্রীয় বৃত্ত দুটি পরস্পরকে R বিন্দুতে অন্তস্থঃভাবে স্পর্শ করেছে। PR=3.5 সেমি. এবং QR=2 সেমি.
বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
=PQ=PR-QR=(3.5-2) সেমি. =1.5 সেমি.
উত্তরঃ (c) 1.5 সেমি.
(B) নীচের বিবৃতিগুলি সত্য না মিথ্যা লিখিঃ
(i). একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি বিন্দু P বৃত্তে অঙ্কিত কোনো স্পর্শক P বিন্দুগামী নয়।
উত্তরঃ সত্য
[বৃত্তের যে-কোনো স্পর্শক অন্তঃস্থ কোনো বিন্দুগামী হবে না।]
(ii). একটি বৃত্তে একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল দুইয়ের অধিক স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
উত্তরঃ মিথ্যা
[ একটি বৃত্তে একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার সমান্তরাল দুইয়ের অধিক স্পর্শক অঙ্কন করা যায় না।]
(C) শূন্যস্থান পূরণ করিঃ
(i). একটি সরলরেখা বৃত্তকে দুটি বিন্দুতে ছেদ করলে সরলরেখাটিকে বৃত্তের ______ বলে।
উত্তরঃ ছেদক
(ii). দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ করলে বৃত্তদুটির সর্বাধিক সংখ্যায় __________টি সাধারণ স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
উত্তরঃ 4
[দুটি সরল সাধারণ স্পর্শক
এবং দুটি তির্যক সাধারণ
স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।]
(iii). দুটি বৃত্ত পরস্পরকে A\ বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করল। A বিন্দুতে অঙ্কিত বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শক হলো ______ সাধারণ স্পর্শক (সরল/তির্যক) ।
উত্তরঃ তির্যক
12. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i)
পাশের চিত্রে বৃত্তের কেন্দ্র O এবং BOA বৃত্তের ব্যাস। বৃত্তের P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত BA কে T বিন্দুতে ছেদ করে। \(\angle PBO=30°\) হলে, \(\angle PTA\) এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
∆BOP এর OB=OP [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠OPB=∠PBO=30°
∆BOP এর বহিঃস্থ কোণ
∠POT = ∠OPB+∠PBO
= 30°+30° = 60°
যেহেতু, P বিন্দুতে TP স্পর্শক
∴ ∠TPO=90°
∆POT থেকে পাই,
∠PTO = 180°-∠POT-∠TPO
= 180°-60°-90°=30°
∴ ∠PTA=30°
(ii) 
পাশের চিত্রে ABC ত্রিভুজটি একটি বৃত্তে পরিলিখিত এবং বৃত্তকে P,Q,R বিন্দুতে স্পর্শ করে। যদি AP=4 সেমি., BP=6 সেমি., AC=12 সেমি. এবং BC=x সেমি. হয়। তাহলে x -এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে AP ও AQ স্পর্শক
∴ AP=AQ=4 সেমি.
CQ=AC-AQ=(12-4) সেমি. =8 সেমি.
বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু B থেকে BP ও BR স্পর্শক
∴ BP=BR=6 সেমি.
বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে CR ও CQ স্পর্শক
∴ CR=CQ=8 সেমি.
BC=BR+CR=(6+8) সেমি. =14 সেমি.
(iii) 
পাশের চিত্রে A,B,C কেন্দ্রবিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে। যদি AB=5 সেমি., BC=7 সেমি. এবং CA=6 সেমি. হয়, তাহলে A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, A,B ও C কেন্দ্রীয় বৃত্ত তিনটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে x সেমি., y সেমি. ও z সেমি.
AB=AP+BP=x+y
∴ x+y = 5 (1)
BC=BR+CR=y+z
∴ y+z = 7 (2)
CA=CQ+AQ=z+x
∴ z+x = 6 (3)
(1)+(2)+(3) করে পাই,
x+y+y+z+z+x=5+7+6
বা, 2(x+y+z)=18
∴ x+y+z=9 (4)
(4)-(2) করে পাই,
x+y+z-y-z=9-7
∴ x=2
∴ A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 2 সেমি.।
(iv) 
পাশের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ
পাশের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ
করে। বৃত্তের অপর একটি বিন্দু R তে অঙ্কিত স্পর্শক CP ও CQ কে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। যদি, CP=11 সেমি. এবং BC=7 সেমি. হয়, তাহলে BR এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু C থেকে অঙ্কিত দুটি স্পর্শক CP ও CQ
∴ CP=CQ=11 সেমি.
BQ=CQ-BC=(11-7) সেমি. =4 সেমি.
আবার, বৃত্তের বহিঃস্থ বিন্দু B থেকে BQ ও BR দুটি স্পর্শক
∴ BQ=BR=4 সেমি.
(v) দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 8 সেমি. ও 3 সেমি. এবং তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 13 সেমি.। বৃত্ত দুটির একটি সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদুটির PQ সরল সাধারণ স্পর্শক।
Q বিন্দু দিয়ে AB এর সমান্তরাল সরলরেখা অঙ্কন করা হল যা AP কে M বিন্দুতে ছেদ করেছে।
∴ AP=8 সেমি. এবং BQ=AM=3 সেমি.
PM=AP-AM=(8-3) সেমি. =5 সেমি.
MQ=AB=13 সেমি.
A কেন্দ্রীয় বৃত্তের P বিন্দুতে PQ স্পর্শক
∴ MPQ=90°
সমকোণী ∆PMQ থেকে পাই,
\(MQ^2=MP^2+PQ^2\)
বা, \(PQ^2=MQ^2-MP^2\)
∴ \(PQ=\sqrt{{MQ}^2-{PM}^2}\)
\(=\sqrt{{13}^2-5^2}\) সেমি.
\(=\sqrt{169-25}\) সেমি. \(=\sqrt{144}\) সেমি. =12 সেমি.
∴ বৃত্ত দুটির একটি সরল সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য 12 সেমি.
0 Comments