15. বৃত্তের স্পর্শক সংক্রান্ত উপপাদ্য | কষে দেখি 15.1 | Exercise 15.1 solution | গণিত প্রকাশ X সমাধান | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
কষে দেখি 15.1 সমাধান
1. মাসুম O কেন্দ্রীয় বৃত্ত অঙ্কন করেছে যার AB একটি জ্যা। B বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করেছি যা বর্ধিত AO কে T বিন্দুতে ছেদ করল। ∠BAT=21° হলে, ∠BTA এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
∆AOB এর OA=OB
∴ ∠OAB=∠OBA=21°
∆AOB এর বহিঃস্থ কোণ ∠BOT=∠OAB+∠OBA
=21°+21°=42°
যেহেতু, B বিন্দুতে BT স্পর্শক
∴ ∠OBT=90°
∆BOT থেকে পাই,
∠BTO=180°-∠BOT-∠OBT
=180°-42°-90° =48°
∴ ∠BTA=48°
2. কোনো বৃত্তের XY একটি ব্যাস। বৃত্তটির উপর অবস্থিত A বিন্দুতে PAQ বৃত্তের স্পর্শক। X বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব PAQ কে Z বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে, XA,∠YXZ এর সমদ্বিখন্ডক।
প্রদত্তঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের XY ব্যাস। বৃত্তটির উপর A বিন্দুতে PAQ বৃত্তের স্পর্শক। X বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব PAQ কে Z বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ XA,∠YXZ এর সমদ্বিখন্ডক।
অঙ্কনঃ O,A যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ
A বিন্দুতে PQ স্পর্শক ∴ ∠OAZ=90°
যেহেতু, XZ⊥PQ ∴ ∠XZA=90°
∆AOX এর XO=OA
∴ ∠OXA =∠OAX
∠XAZ=∠OAZ-∠OAX=90°-∠OXA [∵ ∠OXA =∠OAX]
∆AXZ থেকে পাই, ∠AXZ=180°-∠XAZ-∠XZA
=180°-(90°-∠OXA)-90°
=∠OXA
∴ ∠AXZ=∠YXA
∴ XA,∠YXZ এর সমদ্বিখন্ডক। [প্রমাণিত]
3. একটি বৃত্ত অঙ্কন করলাম যার PR একটি ব্যাস। P বিন্দুতে একটি স্পর্শক অঙ্কন করলাম এবং এই স্পর্শকের উপরে S এমন একটি বিন্দু নিলাম যাতে PR=PS হয়। RS বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ST=RT=PT.
প্রদত্তঃ
PR বৃত্তটির ব্যাস। P বিন্দুতে PS স্পর্শক। S এমন একটি বিন্দু যাতে PR=PS হয়। RS বৃত্তটিকে T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ ST=RT=PT
প্রমাণঃ
P বিন্দুতে PS স্পর্শক ∴ ∠RPS=90°
∆RPS এর PR=PS
∴ ∠PRS=∠PSR=(90°)/2=45°
∴ ∠PRT=∠PST=45°
∠PTR অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ∴ ∠PTR=90°
∴ ∆PTR থেকে পাই,
∠TPR=180°-∠PTR-∠PRT
=180°-90°-45°=45°
∆PTR এর ∠PRT=∠TPR=45°
∴ PT=RT (I)
∠PTS=180°-∠PTR=180°-90°=90°
∆PTS থেকে পাই,
∠TPS = 180°-∠PTS-∠PST
= 180°-90°-45° = 45°
∆PTS এর ∠TPS = ∠PST=45°
∴ PT= ST (II)
(I) নং ও (II) নং থেকে পাই,
ST = RT = PT [প্রমাণিত]
4. একটি O কেন্দ্রীয় বৃত্ত অঙ্কন করি যার দুটি ব্যাসার্ধ OA ও OB পরস্পর লম্ব ভাবে অবস্থিত। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পরকে T বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, AB=OT এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখন্ডিত করে।
প্রদত্তঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের দুটি ব্যাসার্ধ OA ও OB পরস্পর লম্ব ভাবে অবস্থিত। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় পরস্পরকে T বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রামাণ্যঃ AB = OT এবং তারা পরস্পরকে লম্বভাবে সমদ্বিখন্ডিত করে।
প্রমাণঃ
AT,BT যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে স্পর্শক।
∴ ∠OAT=∠OBT=90°
আবার OA ও OB পরস্পর লম্ব
∴ ∠AOB=90°
AOBT চতুর্ভুজ থেকে পাই,
∠ATB=360°-∠OAT-∠OBT-∠AOB
=360°-90°-90°-90°
=90°
AOBT চতুর্ভুজের
∠AOB=∠OAT=∠OBT=∠ATB=90°
এবং OA=OB [উভয়েই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ AOBT চতুর্ভুজটি বর্গক্ষেত্র।
∴ AB=OT [∵ বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় সমান হয়]
যেহেতু, বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।
∴ AB ও OT পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে। [প্রমাণিত]
5. দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃহত্তরটির AB ও AC জ্যা দুটি অপর বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করলে, প্রমাণ করি যে, PQ=1/2 BC
প্রদত্তঃ
দুটি এককেন্দ্রীয় বৃত্তের বৃহত্তরটির AB ও AC জ্যা দুটি অপর বৃত্তকে যথাক্রমে P ও Q বিন্দুতে স্পর্শ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ PQ=1/2 BC
অঙ্কনঃ P,O এবং Q,O যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ
AB এবং AC যথাক্রমে P এবং Q বিন্দুতে স্পর্শক।
∴ OP⊥AB এবং OQ⊥AC
বৃহত্তর বৃত্তটির AB ও AC জ্যাদুটির উপর বৃত্তটির কেন্দ্র O থেকে লম্ব যথাক্রমে OP ও OQ
∴ P,AB বাহুর মধ্যবিন্দু এবং Q,AC বাহুর মধ্যবিন্দু।
∆ABC এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q
∴ PQ=1/2 BC [প্রমাণিত]
6. O কেন্দ্রীয় কোনো বৃত্তের উপর অবস্থিত A বিন্দুতে স্পর্শকের উপর X যে-কোনো একটি বিন্দু। X বিন্দু থেকে অঙ্কিত একটি ছেদক বৃত্তকে Y ও Z বিন্দুতে ছেদ করে। YZ এর মধ্যবিন্দু P হলে, প্রমাণ করি যে, XAPO বা XAOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ।
প্রদত্তঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের A বিন্দুতে স্পর্শকের উপর X যে-কোনো একটি বিন্দু। X বিন্দু থেকে অঙ্কিত একটি ছেদক বৃত্তকে Y ও Z বিন্দুতে ছেদ করে। YZ এর মধ্যবিন্দু P ।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ XAOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ।
প্রমাণঃ
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের A বিন্দুতে AX স্পর্শক
∴ ∠OAX=90°
O কেন্দ্রীয় বৃত্তের YZ জ্যা এর মধ্যবিন্দু P
∴ OP⊥YZ সুতরাং, ∠OPX=90°
XAOP চতুর্ভুজ থেকে পাই,
∠AOP+∠AXP
= 360°-∠OPX-∠OAX
=360°-90°-90°
=180°
∴ XAOP চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলি পরস্পর সম্পূরক।
সুতরাং, XAOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। [প্রমাণিত]
7. O কেন্দ্রীয় কোনো বৃত্তের একটি ব্যাসের উপর P যে-কোনো একটি বিন্দু। ওই ব্যাসের উপর O বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। বর্ধিত QP বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করে। R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত OP কে S বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করি যে, SP=SR.
প্রদত্তঃ O কেন্দ্রীয় কোনো বৃত্তের AB ব্যাসের উপর P যে-কোনো একটি বিন্দু। O বিন্দুতে অঙ্কিত লম্ব বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। বর্ধিত QP বৃত্তকে R বিন্দুতে ছেদ করে। R বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক বর্ধিত OP কে S বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ SP=SR
অঙ্কনঃ O,R যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ R বিন্দুতে SR স্পর্শক এবং OR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যসার্ধ।
∴ OR⊥RS
∴ ∠ORS=90°
∆ORQ এর OR = OQ ∴ ∠ORQ=∠OQR (I)
∠PRS = ∠ORS-∠ORQ
= 90°-∠OQR [(I) নং থেকে পাই]
AB ব্যাসের উপর OQ লম্ব ∴ ∠QOP=90°
∆QOP থেকে পাই, ∠OPQ=180°-∠OQP-∠QOP
=180°-∠OQR-90°=90°-∠OQR
∴ ∠SPR = বিপ্রতীপ ∠OPQ=90°-∠OQR = ∠PRS
∆PRS এর ∠SPR = ∠PRS
∴ SR = SP
অর্থাৎ, SP = SR [প্রমাণিত]
8. রুমেলা O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্ত অঙ্কন করেছে যার QR একটি জ্যা। Q ও R বিন্দুতে দুটি স্পর্শক অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। QM বৃত্তের একটি ব্যাস হলে, প্রমাণ করি যে, ∠QPR=2∠RQM.
প্রদত্তঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের QR জ্যা এর Q ও R বিন্দুতে দুটি স্পর্শক পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে। QM বৃত্তটির ব্যাস।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ ∠QPR=2∠RQM
অঙ্কনঃ O,R যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ
∆OQR এর OQ = OR [উভয়েই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠ORQ = ∠OQR
∆OQR থেকে পাই,
∠QOR=180°-∠ORQ-∠OQR
=180°-∠OQR-∠OQR=180°-2∠OQR
PQ স্পর্শক এবং OQ স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ ∠PQO = 90°
PR স্পর্শক এবং OR স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ
∴ ∠PRO = 90°
PQOR চতুর্ভুজ থেকে পাই,
∠QPR = 360°-∠PQO-∠QOR-∠PRO
=360°-90°-∠QOR-90°
=180°-∠QOR
=180°-(180°-2∠OQR)
=2∠RQM [∵ ∠OQR = ∠RQM]
∴ ∠QPR = 2∠RQM [প্রমাণিত]
9. কোনো বৃত্তের AC ও BD দুটি জ্যা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে P বিন্দুতে এবং C ও D বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করলে,
প্রমাণ করি যে, ∠P+∠Q = 2∠BOC.
প্রদত্তঃ X কেন্দ্রীয় বৃত্তের মধ্যে AC ও BD দুটি জ্যা পরস্পরকে O বিন্দুতে ছেদ করেছে। A ও B বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি
পরস্পরকে P বিন্দুতে এবং C ও D বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক দুটি পরস্পরকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ ∠P+∠Q=2∠BOC
অঙ্কনঃ A,X; B,X; C,X,D,X এবং B,C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ
A,B,C ও D বিন্দুতে যথাক্রমে AP,BP,CQ ও DQ স্পর্শক।
∴ ∠PAX=90°,∠PBX=90°,∠QCX=90° এবং ∠PDX=90°
AB বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ ∠AXB এবং বৃত্তস্থ কোণ ∠ACB
∴ ∠AXB=2∠ACB
APBX চতুর্ভুজ থেকে পাই,
∠P = 360°-∠PAX -∠AXB -∠PBX
=360°-90°-2∠ACB-90°
=180°-2∠ACB
একইরকমভাবে DQCX চতুর্ভুজ থেকে পাই,
∠Q=180°-2∠DBC
∴ ∠P+∠Q=180°-2∠ACB-180°-2∠DBC
= 360°-2(∠ACB+∠DBC)
=360°-2(∠OCB+∠OBC)
=360°-2(180°-∠BOC)
=360°-360°+2∠BOC
∴ ∠P+∠Q=2∠BOC [প্রমাণিত]
0 Comments