7. বৃত্তস্থ কোণ সম্পর্কিত উপপাদ্য | কষে দেখি 7.1 | Exercise 7.1 solution | গণিত প্রকাশ X সমাধান | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
কষে দেখি 7.1 সমাধান
1. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=AC । সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র O এবং BC বাহুর যেদিকে A বিন্দু অবস্থিত তার বিপরীত পার্শ্বে কেন্দ্র O অবস্থিত। \(\angle BOC=100°\) হলে \(\angle ABC\) ও \(\angle ABO\) এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
BPC বৃত্তচাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ BAC\)
এবং কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ \(\angle\ BOC\)
∴ প্রবৃদ্ধ \(\angle\ BOC\ =2\angle\ BAC\)
বা, \(2\angle\ BAC\ =360°-∠BOC\)
বা, \(2\angle\ BAC\ =360°-100°\)
বা, \(\angle\ BAC\ =\frac{260°}{2}\)
∴ \(\angle\ BAC\ =130°\)
∆ABC এর AB=AC
∴ \(\angle\ ACB=\angle\ ABC\)
\(=\frac{180°-∠BAC}{2}\)
\(=\frac{180°-130°}{2}\)
\(=25°\)
∆BOC এর OB=OC [উভয়েই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ \(\angle\ OCB=\angle\ OBC\)
\(=\frac{180°-∠BOC}{2}\)
\(=\frac{180°-100°}{2}\)
\(=40°\)
∴ \(\angle\ ABO=\angle\ ABC+\angle\ OBC\)
\(=25°+40°=65°\)
∴ \(\angle\ ABC=25°\) এবং \(\angle\ ABO=65°\)
2. পাশের চিত্রে ∆ABC –এর পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং \(\angle\ AOC=110°; \angle\ ABC\) –এর মান
হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
AC বৃত্তচাপের ওপর অবস্থিত কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ \(\angle\ AOC\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ ABC\)
∴ প্রবৃদ্ধ \(\angle\ AOC=2\angle\ ABC\)
বা, \(2\angle\ ABC=360°-∠AOC\)
বা, \(2\angle\ ABC=360°-110°\)
বা, \(\angle\ ABC=\frac{250°}{2}\)
∴ \(\angle\ ABC=125°\)
3. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। DC বাহুকে P বিন্দু পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। \(\angle\ BCP=108°\) হলে, \(\angle\ BOD\) এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
DP সরলরেখার উপর CB দন্ডায়মান
∴ \(\angle\ BCD+\angle\ BCP=180°\)
বা, \(\angle\ BCD=180°-108°\)
∴ \(\angle\ BCD=72°\)
BAD বৃত্তচাপের ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ BOD\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ BCD\)
∴ \(\angle\ BOD\ =2\angle\ BCD\)
\(=2\times72°=144°\)
4. পাশের চিত্রে O কেন্দ্রীয় বৃত্তের \(\angle\ AOD=40°\) এবং \(\angle\ ACB=35°\); ∠BCO ও \(\angle\ BOD\) –এর মান হিসাব করে লিখি ও উত্তরের সাপেক্ষে যুক্তি দিই।
OD কে বর্ধিত করা হল যা বৃত্তের পরিধিকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। 
EA বৃত্তচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ EOA\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ ECA\)
∴ \(\angle\ EOA=2\angle\ ECA\)
বা, \(\angle\ ECA\ =\ \frac{1}{2}\times\angle\ AOD\)
\(=\frac{1}{2}\times40°=20°\)
∴ \(\angle\ BCO=\angle\ ACB+\angle\ ECA\)
\(=35°+20°=55°\)
AB বৃত্তচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ AOB\)
এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ ACB\)
∴ \(\angle\ AOB=2\angle\ ACB=2\times35°=70°\)
∴ \(\angle\ BOD=\angle\ AOB+\angle\ AOD\)
\(=70°+40°=110°\)
∴ \(\angle\ BCO=55°\) এবং \(\angle\ BOD\ =110°\)
5. পাশের চিত্রের O কেন্দ্রীয় বৃত্তের \(\angle\ APB=80°\) হলে, \(\angle\ AOB\) ও \(\angle\ COD\) এর মানের সমষ্টি নির্ণয় করি ও উত্তরের সাপেক্ষে যুক্তি দিই।
B, C যুক্ত করা হল ।
AB বৃত্তচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ AOB\)
এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ ACB\)
∴ \(\angle\ AOB=2\angle\ ACB\)
আবার, CD বৃত্তচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ COD\)
এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ CBD\)
∴ \(\angle\ COD=2\angle\ CBD\)
∆BPC এর বহিঃস্থ
\(\angle\ APB=\angle\ ACB+\ \angle\ CBD\)
বা, \(\angle\ ACB+\ \angle\ CBD=80°\)
বা, \(\frac{1}{2}\angle\ AOB+\frac{1}{2}\angle\ COD=80°\)
[∵ \(\angle\ AOB=2\angle\ ACB\) এবং
\(\angle\ COD=2\angle\ CBD\) ]
বা, \(\frac{1}{2}(\angle\ AOB+\angle\ COD)=80°\)
∴ \(\angle\ AOB+\angle\ COD=80°×2 = 160°\)
6.
পাশের ছবির মতো C ও D কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত অঙ্কন করেছি যারা পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী একটি সরলরেখা অঙ্কন করেছি যা C কেন্দ্রীয় বৃত্তকে P বিন্দুতে এবং D কেন্দ্রীয় বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করি যে,
(i) \(\angle\ PBQ=\angle\ CAD\)
(ii) \(\angle\ BPC=\angle\ BQD\)
সমাধানঃ
C, B ও D, B যুক্ত করা হল।
AP বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ ACP\)
এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ ABP\)
∴ \(\angle\ ACP=2\angle\ ABP\)
আবার, AQ বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ ADQ\)
এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ ABQ\)
∴ \(\angle\ ADQ=2\angle\ ABQ\)
∆ACP এর AC=CP [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ \(\angle\ PAC=\angle\ APC\)
সুতরাং,
\(\angle\ ACP=180°-∠PAC-∠APC\)
\(=180°-2∠PAC\)
∆ADQ এর AD=DQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ \(\angle\ DAQ=\angle\ DQA\)
সুতরাং,
\(\angle\ ADQ=180°-∠DQA-∠DAQ\)
\(=180°-2∠DAQ\)
∴ \(\angle\ ACP+\angle\ ADQ\)
\(=180°-2∠PAC+180°-2∠DAQ\)
\(=360°-2(∠PAC+∠DAQ)\)
\(=360°-2(180°-∠CAD)\)
[∵ \(\angle\ PAC+\angle\ DAQ+\angle\ CAD=180°\)]
\(=2\angle\ CAD\)
∴ \(\angle\ PBQ=\ \angle\ ABP+\angle\ ABQ\)
\(=\frac{1}{2}\angle\ ACP+\frac{1}{2}\angle\ ADQ\)
\(=\frac{1}{2}(\angle\ ACP+\angle\ ADQ)\)
\(=\ \frac{1}{2}\times2\angle\ CAD\)
∴ \(\angle\ PBQ=\angle\ CAD\) [(i) প্রমাণিত]
∆ACB এর AC=CB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ \(\angle\ CAB=\angle\ CBA\)
∆ADB এর AD=DB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ \(\angle\ DAB=\angle\ DBA\)
∴ \(\angle\ CAB+\angle\ DAB=\angle\ CBA+\angle\ DBA\)
বা, \(\angle\ CAD=\angle\ CBD\)
আবার, \(\angle\ PBQ=\angle\ CAD\)
∴ \(\angle\ PBQ=\angle\ CBD\)
বা, \(\angle\ PBC+\angle\ CBQ\ =\angle\ CBQ\ +\angle\ QBD\)
বা, \(\angle\ PBC=\angle\ QBD\)
∆PCB এর PC=CB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ \(\angle\ CBP=\angle\ CPB\)
∆QDB এর QD=DB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ \(\angle\ DBQ=\angle\ DQB\)
∴ \(\angle\ BPC=\angle\ BQD\) [(ii)প্রমাণিত]
7. ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O; প্রমাণ করি যে, ∠OBC+∠BAC=90°
প্রদত্তঃ ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
\(\angle\ OBC+\angle\ BAC=90°\)
অঙ্কনঃ O, C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ
BC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ BOC\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ BAC\)
∴ \(\angle\ BOC=2\angle\ BAC\)
∆BOC এর OB=OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ \(\angle\ OCB=\angle\ OBC\)
∆BOC থেকে পাই,
\(\angle\ BOC=180°-∠OBC-∠OCB\)
বা, \(\angle\ BOC=180°-∠OBC-∠OBC\)
বা, \(2\angle\ BAC\ =\ 180°-2∠OBC\)
বা, \(2\angle\ BAC\ =\ 2(90°-∠OBC) \)
বা, \(\angle\ BAC\ =\ 90°-∠OBC\)
∴ \(\angle\ OBC+\angle\ BAC=90°\) [প্রমাণিত]
8. দুটি সমান বৃত্ত একটি অপরটির কেন্দ্রগামী এবং বৃত্তদুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করলে, প্রমাণ করি যে, ∆BCD সমবাহু ত্রিভুজ।
প্রদত্তঃ ধরি, P ও Q কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃওদুটি একটি অপরটির কেন্দ্রগামী এবং বৃত্তদুটি পরস্পরকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করেছে। A বিন্দুগামী সরলরেখা বৃত্ত দুটিকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ ∆BCD সমবাহু ত্রিভুজ।
অঙ্কনঃ P,Q; A,P; A,Q; B,P ও B,Q যোগ করলাম।
প্রমাণঃ
∆APQ এর AP=PQ=AQ [প্রত্যেকেই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∆APQ একটি সমবাহু ত্রিভুজ
∴ \(\angle\ APQ=\angle\ AQP=\angle\ PAQ=60°\)
আবার, ∆BPQ এর BP=PQ=BQ [প্রত্যেকেই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∆BPQ একটি সমবাহু ত্রিভুজ
∴ \(\angle\ BPQ=\angle\ BQP=\angle\ PBQ=60°\)
\(\angle\ APB=\angle\ APQ+\angle\ BPQ\)
\(=60°+60°=120°\)
\(\angle\ AQB=\angle\ AQP+\angle\ BQP\)
\(=60°+60°=120°\)
AB বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ APB\)
এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ ACB\)
∴ \(\angle\ ACB=\frac{1}{2}\angle\ APB\)
\(=\frac{1}{2}\times120°=60°\)
আবার, \(\angle\ ADB=\frac{1}{2}\angle\ AQB\)
\(=\frac{1}{2}\times120°=60°\)
∴ ∆BCD এর \(\angle\ DCB=\angle\ CDB=60°\)
∆BCD থেকে পাই,
\(\angle\ CBD=180°-∠DCB-∠CDB\)
\(=180°-60°-60°=60°\)
∴ ∆BCD এর
\(\angle\ CBD=\angle\ DCB=\angle\ CDB=60°\)
সুতরাং, ∆BCD একটি সমবাহু ত্রিভুজ
9. ∆ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র S এবং \(AD\bot\ BC\) হলে,
প্রমাণ করি যে, \(\angle\ BAD=\angle\ SAC\)
প্রদত্তঃ ∆ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র S এবং \(AD\bot\ BC\)
প্রমাণ করতে হবে যেঃ \(\angle\ BAD=\angle\ SAC\)
অঙ্কনঃ S, C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ
∆ABD এর \(\angle\ ADB=90°\) [∵ \(AD\bot\ BC\)]
∴ \(\angle\ BAD+\angle\ ABD=90°\)
বা, \(\angle\ ABD=90°-∠BAD\)
AC বৃত্তচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ ASC\)
এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ ABC\)
∴ \(\angle\ ASC=2\angle\ ABC\)
\(=2\angle\ ABD=2(90°-∠BAD)\)
আবার ∆ASC এর AS=CS [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ \(\angle\ SAC=\angle\ ACS\)
∆ASC থেকে পাই,
\(\angle\ ASC=180°-∠SAC-∠ACS\)
\(=180°-2∠SAC\)
আবার, \(\angle\ ASC=2(90°-∠BAD)\)
∴ \(2(90°-∠BAD) =180°-2∠SAC\)
বা, \(180°-2∠BAD=180°-2∠SAC\)
∴ \(\angle\ BAD=\angle\ SAC\) [প্রমাণিত]
10. O কেন্দ্রীয় একটি বৃত্তের দুটি জ্যা AB ও CD পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
প্রমাণ করি যে, \(\angle\ AOD+\angle\ BOC=2\angle\ BPC\)
যদি \(\angle\ AOD\) ও \(\angle\ BOC\) পরস্পর সম্পূরক হয়, তাহলে প্রমাণ করি যে, জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
\(\angle\ AOD+\angle\ BOC=2\angle\ BPC\)
অঙ্কনঃ B, D যুক্ত করলাম।
প্রমাণঃ
AD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ AOD\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ ABD\)
∴ \(\angle\ AOD=2\angle\ ABD\)
BC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ BOC\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ BDC\)
∴ \(\angle\ BOC=2\angle\ BDC\)
∆BPD এর বহিস্থঃ কোণ
\(\angle\ BPC=\angle\ PBD+\angle\ BDP\)
বা, \(\angle\ BPC=\angle\ ABD+\angle\ BDC\)
বা, \(2\angle\ BPC=\ 2\angle\ ABD+2\angle\ BDC\)
[উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে গুন করে]
বা, \(2\angle\ BPC=\angle\ AOD\ +\angle\ BOC\)
[∵ \(\angle\ AOD=2\angle\ ABD\)
এবং \(\angle\ BOC=2\angle\ BDC\)]
∴ \(\angle\ AOD+\angle\ BOC=2\angle\ BPC\) [প্রমাণিত]
\(\angle\ AOD\) ও \(\angle\ BOC\) পরস্পর সম্পূরক হলে,
\(\angle\ AOD+\angle\ BOC=180°\)
বা, \(2\angle\ BPC=180°\)
∴ \(\angle\ BPC=90°\)
সুতরাং, AB ও CD জ্যা দুটি পরস্পর লম্ব।
11. O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করলে,
প্রমাণ করি যে, \(\angle\ AOC-\angle\ BOD=2\angle\ BPC\)
প্রদত্তঃ O কেন্দ্রীয় বৃত্তের AB ও CD দুটি জ্যা-কে বর্ধিত করলে তারা পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
\(\angle\ AOC-\angle\ BOD=2\angle\ BPC\)
অঙ্কনঃ A, D যোগ করা হল।
প্রমাণঃ
AC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ AOC\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ ADC\)
∴ \(\angle\ AOC=2\angle\ ADC\)
BD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ BOD\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ BAD\)
∴ \(\angle\ BOD=2\angle\ BAD\)
∆ADP এর বহিঃস্থ
\(\angle\ ADC=\angle\ APD+\angle\ PAD\)
বা, \(\angle\ ADC=\angle\ APD+\angle\ BAD\)
বা, \(\angle\ ADC-\angle\ BAD=\angle\ APD\)
বা, \(2\angle\ ADC-2\angle\ BAD=2\angle\ APD\)
[উভয়পক্ষকে 2 দিয়ে গুন করে]
বা, \(\angle\ AOC-\angle\ BOD=2\angle\ APD\)
[∵ \(\angle\ AOC=2\angle\ ADC\)
এবং \(\angle\ BOD=2\angle\ BAD\)]
∴ \(\angle\ AOC-\angle\ BOD=2\angle\ BPC\) [প্রমাণিত]
12. ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো যেটি B, C ও D বিন্দু দিয়ে যায়। প্রমাণ করি যে,
\(\angle\ CBD+\angle\ CDB=\frac{1}{2}\angle\ BAD\)
প্রদত্তঃ ABCD চতুর্ভুজের A বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি বৃত্ত অঙ্কন করা হলো যেটি B, C ও D বিন্দু দিয়ে যায়।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ
\(\angle\ CBD+\angle\ CDB=\frac{1}{2}\angle\ BAD\)
অঙ্কনঃ A, C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ
BD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ \(\angle\ BAD\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ BCD\)
∴ প্রবৃদ্ধ \(\angle\ BAD=2\angle\ BCD\)
আবার, ∆BCD থেকে পাই, \(\angle\ BCD=180°-∠CBD-∠BDC\)
∴ প্রবৃদ্ধ \(\angle\ BAD\)
\(=2(180°-∠CBD-∠BDC)\)
বা, \(360°-∠BAD\)
\(=360°-2(∠CBD+∠BDC)\)
বা, \(-\angle\ BAD=-2(\angle\ CBD+\angle\ BDC)\)
বা, \(2(\angle\ CBD+\angle\ BDC)\ =\ \angle\ BAD\)
∴ \(\angle\ CBD+\angle\ CDB=\frac{1}{2}\angle\ BAD\) [প্রমাণিত]
13. ∆ABC –এর পরিকেন্দ্র O এবং OD, BC বাহুর উপর লম্ব। প্রমাণ করি যে \(\angle\ BOD=\angle\ BAC\)
বাহুর উপর লম্ব।
প্রমাণ করতে হবে যেঃ \(\angle\ BOD=\angle\ BAC\)
অঙ্কনঃ O, C যুক্ত করা হল।
প্রমাণঃ
∆BOD এবং ∆COD এর মধ্যে
OB=OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
\(\angle\ BDO=\angle\ CDO=1\) সমকোণ [∵ \(OD\bot\ BC\)]
OD সাধারণ বাহু
∴ ∆BOD≅∆COD [S-A-S সর্বসমতার শর্তানুসারে]
∴ \(\angle\ BOD=\angle\ COD\) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]
BC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ BOC\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ BAC\)
∴ \(\angle\ BOC=2\angle\ BAC\)
বা, \(\angle\ BOD+\angle\ COD=2\angle\ BAC\)
বা, \(\angle\ BOD+\angle\ BOD=2\angle\ BAC\)
[∵ \(\angle\ BOD=\angle\ COD\)]
বা, \(2\angle\ BOD=2\angle\ BAC\)
∴ \(\angle\ BOD=\angle\ BAC\) [প্রমাণিত]
14. অতি সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (V.S.A.)
(A) বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q.):
(a) 140 (b) 40 (c) 80 (d) 20সমাধানঃ
\(\angle\ POR+\angle\ ROQ=180°\)
∴ \(\angle\ ROQ=180°-140°=40°\)
RQ বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ ROQ\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ RSQ\)
∴ \(\angle\ ROQ=2\angle\ RSQ\)
বা, \(2\angle\ RSQ=40°\)
∴ \(\angle\ RSQ=20°\)
∴ \(x=20\)
উত্তরঃ (d) 20
(ii) 
পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, x-এর মান
(a) 70 (b) 60
(c) 40 (d) 200
সমাধানঃ
\(\angle\ QOR=360°-140°-80°=140°\)
QR বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ QOR\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ QPR\)
∴ \(\angle\ QOR=2\times\angle\ QPR\)
∴ \(\angle\ QPR=\frac{1}{2}\angle\ QOR\)
\(\ =\frac{1}{2}\times140°=70°\)
∴ x=70
উত্তরঃ (a) 70
(iii) 
পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং BC ব্যাস হলে, x-এর মান
(a) 60 (b) 50
(c) 100 (d) 80
সমাধানঃ
∆AOB এর OA=OB
∴ \(\angle\ OAB=\angle\ ABO=50°\)
AC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ AOC\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ ABC\)
∴ \(\angle\ AOC=2\angle\ ABC\)
\(=2\times50°=100°\)
আবার, AC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ AOC\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ ADC\)
∴ \(\angle\ AOC=2\angle\ ADC\)
বা, \(\angle\ ADC=\frac{1}{2}\angle\ AOC\)
∴ \(\angle\ ADC=\frac{1}{2}\times100°=50°\)
∴ x=50
উত্তরঃ (b) 50
(iv) ABC ত্রিভুজের O পরিকেন্দ্র। \(\angle\ OAB=50°\) হলে, \(\angle\ ACB\) এর মান
(a) 50° (b) 100° (c) 40° (d) 80°
সমাধানঃ
O, B যুক্ত করা হল।
∆AOB এর AO=BO
∴ \(\angle\ OAB=\angle\ ABO=50°\)
∆AOB থেকে পাই,
\(\angle\ AOB=180°- ∠OAB-∠ABO\)
\(=180°-50°-50°=80°\)
AB বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ AOB\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ ACB\)
∴ \(\angle\ AOB=2\angle\ ACB\)
সুতরাং, \(\angle\ ACB=\frac{1}{2}\angle\ AOB\)
\(=\frac{1}{2}\times80°=40°\)
উত্তরঃ (c) 40°
(v) 
পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে, ∠POR -এর মান
(a) 20° (b) 40°
(c) 60° (d) 80°
সমাধানঃ
∆POQ এর PO=OQ
∴ \(\angle\ OPQ=\angle\ PQO=10°\)
∆ROQ এর RO=OQ
∴ \(\angle\ ORQ=\angle\ RQO=40°\)
∴ \(\angle\ PQR=\angle\ RQO-\angle\ PQO\)
\(=40°-10°=30°\)
PR বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ POR\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ PQR\)
∴ \(\angle\ POR\ =\ 2\angle\ PQR\)
\( =\ 2\times30° = 60°\)
উত্তরঃ (c) 60°
(B) সত্য বা মিথ্যা লিখিঃ
(i) 
পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র হলে,
\(\angle\ AOB=2\angle\ ACD\)
উত্তরঃ মিথ্যা
(ii) ABC ত্রিভুজাকার ক্ষেত্রের ভিতর O বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে, OA=OB এবং \(\angle\ AOB=2\angle\ ACB\). O বিন্দুকে কেন্দ্র করে OA দৈর্ঘ্যের ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কন করলে C বিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত হবে।
উত্তরঃ সত্য
(C) শূণ্যস্থান পূরণ করিঃ
(i) একই বৃত্তচাপের উপর অবস্থিত বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের ________।
উত্তরঃ অর্ধেক
(ii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তে AB ও CD জ্যা দুটির দৈর্ঘ্য সমান। \(\angle\ APB\) ও \(\angle\ DQC\) বৃত্তস্থ কোণ হলে, কোণ দুটির মান __________ ।
উত্তরঃ সমান
(iii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র O হলে, যে-কোনো একটি বাহু দ্বারা উৎপন্ন সম্মুখ কেন্দ্রস্থ কোণের মান _______।
উত্তরঃ 120°
15. সংক্ষিপ্ত উত্তরধর্মী প্রশ্ন (S.A.)
(i) 
পাশের চিত্রে O বৃত্তের কেন্দ্র। \(\angle\ OAB=40°\),\(\angle ABC=120°,\) \(\angle\ BCO=y°\) এবং \(\angle\ COA=x°\) হলে, x ও y এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
AC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ \(\angle\ AOC\)
এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ ABC\)
∴ প্রবৃদ্ধ \(\angle\ AOC=2\angle\ ABC\)
বা, \(360°-\angle AOC=2×120°\)
∴ \(\angle\ AOC=360°-240°=120°\)
∴ x=120
ABCD চতুর্ভুজ থেকে পাই,
∠BCO=360°-∠ABC-∠OAB-∠AOC
=360°-120°-40°-120°=80°
∴ y=80
∴ x=120 এবং y=80
(ii) ABC ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O এবং D বিন্দু BC বাহুর মধ্যবিন্দু। ∠BAC=40° হলে, ∠BOD -এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
O, C যুক্ত করলাম।
BC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ BOC\)
এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ BAC\)
∴ \(\angle\ BOC=2\angle\ BAC\)
\(=2\times40°=80°\)
∆BOD এবং ∆COD এর মধ্যে,
BO=OC [উভয়েই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
BD = DC [যেহেতু D, BC বাহুর মধ্যবিন্দু]
OD সাধারণ বাহু
∴ ∆BOD≅∆COD [S-S-S সর্বসমতার শর্তানুসারে]
∴ \(\angle\ BOD=\angle\ CDO\) [সর্বসম ত্রিভুজের অনুরূপ কোণ]
\(\angle\ BOC=\angle\ BOD+\angle\ CDO=2\angle\ BOD\)
∴ \(\angle\ BOD=\frac{1}{2}\angle\ BOC\)
\(=\frac{1}{2}\times80°=40°\)
(iii) O কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর A, B, C তিনটি বিন্দু এমনভাবে অবস্থিত যে AOCB একটি সামান্তরিক। ∠AOC -এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
AOCB সামান্তরিকের বিপরীত কোণ পরস্পর সমান।
∴ \(\angle\ ABC=\angle\ AOC\)
AC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ \(\angle\ AOC\)
এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ ABC\)
∴ প্রবৃদ্ধ \(\angle\ AOC=2\angle\ ABC\)
বা, 360°-∠AOC=2∠AOC
বা, 360°=2∠AOC+∠AOC
বা, 3∠ AOC=360°
∴ ∠AOC=\(\frac{360°}{3}\)=120°
(iv) ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের কেন্দ্র O এবং ∠ABC=120°; বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য 5 সেমি. হলে, AB বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি।
ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=BC
∴ \(\angle\ BAC=\angle\ BCA\) (1)
AOC ত্রিভুজের AO=OC
∴ \(\angle\ OAC=\angle\ OCA\) (2)
(1) + (2) করে পাই,
\(\angle\ BAC+\angle\ OAC=\angle\ BCA+\angle\ OCA\)
∴ \(\angle\ BAO=\angle\ BCO\)
AC বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ \(\angle\ AOC\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ ABC\)
∴ প্রবৃদ্ধ \(\angle\ AOC\ =2\angle\ ABC\)
বা, 360°-∠AOC =2×120°
বা, \(\angle\ AOC\ =360°-240°\)
∴ \(\angle\ AOC\ =120°\)
ABCO চতুর্ভুজের \(\angle\ BAO=\angle\ BCO\)
এবং \(\angle\ ABC=\angle\ AOC\ =120°\)
∴ ABCO চতুর্ভুজটি একটি সামান্তরিক।
সুতরাং, AB=OC [সামান্তরিকের বিপরীত বাহু]
আবার, OC= বৃত্তের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য =5 সেমি.
∴ AB=5 সেমি.
(v) 
A ও B কেন্দ্রীয় বৃত্তদ্বয় C এবং D বিন্দুতে ছেদ করে। A কেন্দ্রীয় বৃত্তের উপর অপর বৃত্তের কেন্দ্র B অবস্থিত। \(\angle\ CQD=70°\) হলে, \(\angle\ CPD\) -এর মান নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
C, B; C, A; D, B; D, A যুক্ত করলাম।
B কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ CBD\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ CQD\)
∴ \(\angle\ CBD=2\angle\ CQD\)
\(=2\times70°=140°\)
A কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রবৃদ্ধ \(\angle\ CAD\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ CBD\)
∴ প্রবৃদ্ধ \(\angle\ CAD=2\angle\ CBD\)
বা, \(360°-∠CAD=2×140° \)
∴ \(\angle\ CAD=360°-280°=80°\)
আবার, A কেন্দ্রীয় বৃত্তের CD বৃত্তচাপের উপর কেন্দ্রস্থ কোণ \(\angle\ CAD\) এবং বৃত্তস্থ কোণ \(\angle\ CQD\)
∴ \(\angle\ CAD=2\angle\ CQD\)
বা, \(\angle\ CQD=\frac{1}{2}\angle\ CAD\)
∴ \(\angle\ CQD=\frac{1}{2}\times80°=40°\)
0 Comments