কষে দেখি 8.5 || 8. উৎপাদকে বিশ্লেষণ || WBBSE Class 9 Math Solution

 নবম শ্রেণী গণিত সমাধান | 8. উৎপাদকে বিশ্লেষণ | কষে দেখি 8.5 সমাধান 

নবম শ্রেণী কষে দেখি 8.5 সমাধান 

1. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করোঃ 

(i) ${(a+b)}^2-5a-5b+6$

সমাধানঃ

${(a+b)}^2-5a-5b+6$

$={(a+b)}^2-5(a+b)+6$

$=x^2-5x+6$ [ধরি, a+b=x]

$=x^2-2x-3x+6$

$=x(x-2)-3(x-2)$

$=(x-2)(x-3)$

$=(a+b-2)(a+b-3)$

                [x এর মান বসিয়ে পাই] 

(ii) $(x+1)(x+2)(3x-1)(3x-4)+12$

সমাধানঃ

$(x+1)(x+2)(3x-1)(3x-4)+12$

$=(x+1)(3x-1)(x+2)(3x-4)+12$

$=(3x^2+3x-x-1)(3x^2-4x+6x-8)+12$

$=(3x^2+2x-1)(3x^2+2x-8)+12$

$=(a-1)(a-8)+12$ [ধরি, $3x^2+2x=a$]

$=a^2-a-8a+8+12$

$=a^2-9a+20$

$=a^2-4a-5a+20$

$=a(a-4)-5(a-4)$

$=(a-4)(a-5)$

$=(3x^2+2x-4)(3x^2+2x-5)$ [a এর মান বসিয়ে পাই]

$=(3x^2+2x-4)(3x^2+5x-3x-5)$

$=(3x^2+2x-4)x(3x+5)-1(3x+5)$

$=(3x^2+2x-4)(3x+5)(x-1)$

(iii) $x(x^2-1)(x+2)-8$

সমাধানঃ

 $x(x^2-1)(x+2)-8$

$=x(x+1)(x-1)(x+2)-8$

$=(x^2+x)(x^2-x+2x-2)-8$

$=(x^2+x)(x^2+x-2)-8$

$=a(a-2)-8$ [ধরি, $x^2+x=a$]

$=a^2-2a-8$

$=a^2-4a+2a-8$

$=a(a-4)+2(a-4)$

$=(a-4)(a+2)$

$=(x^2+x-4)(x^2+x+2)$

                 [a এর মান বসিয়ে পাই]

(iv) $7{(a^2+b^2)}^2-15(a^4-b^4)+8{(a^2-b^2)}^2$

সমাধানঃ

$7{(a^2+b^2)}^2-15(a^4-b^4)+8{(a^2-b^2)}^2$

$=7{(a^2+b^2)}^2-15(a^2+b^2)(a^2-b^2)+8{(a^2-b^2)}^2$

$=7x^2-15xy+8y^2$

                [ধরি, $a^2+b^2=x$ এবং $a^2+b^2=y$] 

$=7x^2-7xy-8xy+8y^2$

$=7x(x-y)-8y(x-y)$

$=(x-y)(7x-8y)$

x ও y এর মান বসিয়ে পাই, 

$=\{(a^2+b^2)-(a^2-b^2)\}\{7(a^2+b^2)-8(a^2-b^2)\}$

$=(a^2+b^2-a^2+b^2)(7a^2+7b^2-8a^2+8b^2)$

$=2b^2(15b^2-a^2)$

(v) ${(x^2-1)}^2+8x(x^2+1)+19x^2$

সমাধানঃ

${(x^2-1)}^2+8x(x^2+1)+19x^2$

$={(x^2+1)}^2-4x^2+8x(x^2+1)+19x^2$

$=y^2+8xy+15x^2$ [ধরি, $x^2+1=y$]

$=y^2+5xy+3xy+15x^2$

$=y(y+5x)+3x(y+5x)$

$=(y+5x)(y+3x)$

$=(x^2+1+5x)(x^2+1+3x)$ [y এর মান বসিয়ে পাই]

$=(x^2+5x+1)(x^2+3x+1)$

(vi) $(a-1)x^2+x-(a-2)$

সমাধানঃ

$(a-1)x^2+x-(a-2)$

$=(a-1)x^2+[(a-1)-(a-2)]x-(a-2)$

$=(a-1)x^2+(a-1)x-(a-2)x-(a-2)$

$=(a-1)x(x+1)-(a-2)(x+1)$

$=(x+1)(a-1)x-(a-2)$

$=(x+1)(ax-x-a+2)$

(vii)  $(a-1)x^2+a^{2}xy+(a+1)y^2$

সমাধানঃ

$(a-1)x^2+a^{2}xy+(a+1)y^2$

$=(a-1)x^2+[a^2-1+1]xy+a+1y^2$

$=(a-1)x^2+(a^2-1)xy+xy+(a+1)y^2$

$=(a-1)x^2+(a+1)(a-1)xy+xy+(a+1)y^2$

$=(a-1)xx+(a+1)y+yx+(a+1)y$

$=x+(a+1)y(a-1)x+y$

$=(x+ay+y)(ax-x+y)$

(viii) $x^2+qx-p^2+5pq-6q^2$

সমাধানঃ

$x^2+qx-p^2+5pq-6q^2$

$=x^2-qx-(p^2-5pq+6q^2)$

$=x^2-qx-(p^2-3pq-2pq+6q^2)$

$=x^2-qx-p(p-3q)-2q(p-3q)$

$=x^2-qx-(p-3q)(p-2q)$

$=x^2-[(p-2q)-(p-3q)]x-(p-3q)(p-2q)$

$=x^2-(p-2q)x+(p-3q)x-(p-3q)(p-2q)$

$=x\{x-(p-2q)\}+(p-3q)\{x-(p-2q)\}$

$=x-(p-2q)(x+p-3q)$

$=(x-p+2q)(x+p-3q)$

(ix) $2(a^2+\frac{1}{a^2})-(a-\frac{1}{a})-7$

সমাধানঃ

  $2(a^2+\frac{1}{a^2})-(a-\frac{1}{a})-7$

$=2\{{(a-\frac{1}{a})}^2+2.a.\frac{1}{a}\}-(a-\frac{1}{a})-7$

$=2{(a-\frac{1}{a})}^2+4-(a-\frac{1}{a})-7$

$=2x^2-x-3$

$=2x^2+2x-3x-3$

$=2x(x+1)-3(x+1)$

$=(x+1)(2x-3)$

$=(a-\frac{1}{a}+1)(2a-\frac{2}{a}-3)$

$=(a-\frac{1}{a}+1)(2a-4+1-\frac{2}{a})$

$=(a-\frac{1}{a}+1)\{2(a-2)+\frac{1}{a}(a-2)\}$

$=(a-\frac{1}{a}+1)(a-2)(2+\frac{1}{a})$

$=(a-2)(2+\frac{1}{a})(a-\frac{1}{a}+1)$

(x) $(x^2-x)y^2+y-(x^2+x)$

সমাধানঃ

$(x^2-x)y^2+y-(x^2+x)$

$=x(x-1)y^2+[x^2-(x^2-1)]y-x(x+1)$

$=x(x-1)y^2+x^{2}y-(x+1)(x-1)y-x(x+1)$

$=xy\{(x-1)y+x\}-(x+1)\{(x-1)y-x\}$

$=\{(x-1)y-x\}\{xy-(x+1)\}$

$=(xy-y-x)(xy-x-1)$

2. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q): 

(i) $a^2-b^2=11\times 9$ এবং a ও b ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা (a>b) হলে, 

(a) a=11, b=9 (b) a=33, b=3

(c) a=10, b=1 (d) a=100, b=1

সমাধানঃ 

$a^2-b^2=11\times 9$

বা, (a+b)(a-b)=(10+1)(10-1)

∴ a=10, b=1 

উত্তরঃ (c) a=10, b=1

(ii) যদি $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=1$ হয়, তাহলে $a^3+b^3$ এর মান 

(a) 1 (b) a (c) b (d) 0

সমাধানঃ

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=1$

বা, $\frac{a^2+b^2}{\mathrm{ab}}=1$

বা, $a^2+b^2=ab$

বা, $a^2+b^2-ab=0$

বা, $a^2-ab+b^2=0$

∴ $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

= (a+b)×0=0

উত্তরঃ (d) 0 

(iii) ${25}^3-{75}^3+{50}^3+3\times 25\times 75\times 50$ এর মান  

(a) 150 (b) 0 (c) 25 (d) 50

সমাধানঃ

25+(-75)+50=0 

∴ ${25}^3+{(-75)}^3+{50}^3=3\times 25\times (-75)\times 50$

 ${25}^3-{75}^3+{50}^3+3\times 25\times 75\times 50$

$={25}^3+{(-75)}^3+{50}^3+3\times 25\times 75\times 50$

$=3\times 25\times (-75)\times 50+(3\times 25\times 75\times 50)$

$=-(3\times 25\times 75\times 50)+3\times 25\times 75\times 50$

=0 

(iv) a+b+c=0 হলে $\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}$ এর মান 

(a) 0 (b) 1 (c) -1 (d) 3

সমাধানঃ 

$\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}$

$=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$

$=\frac{3abc}{abc}$ 

            [যেহেতু, a+b+c=0    ∴ $a^3+b^3+c^3=3abc$]

$=3$

(v) \(x^2-px+12=(x-3)(x-a) একটি অভেদ হলে, a ও  p এর মান যথাক্রমে  

(a) a=4, p=7 (c) a=4, p=-7

(b) a=7, p=4 (d) a=-4, p=7

সমাধানঃ

$x^2-px+12=(x-3)(x-a)$

বা, $x^2-px+12=x^2-3x-ax+3a$

বা, $x^2-px+12=x^2-(3+a)x+3a$

∴ p=3+a এবং 12=3a

∴ a=4

∴ p=3+4=7

3. সংক্ষিপ্ত প্রশ্নঃ 

(i) $\frac{{(b^2-c^2)}^3+{(c^2-a^2)}^3+{(a^2-b^2)}^3}{{(b-c)}^3+{(c-a)}^3+{(a-b)}^3}$ এর সরলতম মান লিখি। 

সমাধানঃ

ধরি, $(b^2-c^2)=p$, $(c^2-a^2)=q$ 

  এবং $(a^2-b^2)=r$

∴ $p+q+r=b^2-c^2+c^2-a^2+a^2-b^2=0$

আবার ধরি, (b-c)=x, (c-a)=y এবং (a-b)=z

∴ x+y+z= b-c+c-a+a-b=0

`     $\frac{{(b^2-c^2)}^3+{(c^2-a^2)}^3+{(a^2-b^2)}^3}{{(b-c)}^3+{(c-a)}^3+{(a-b)}^3}$

$=\frac{p^3+q^3+r^3}{x^3+y^3+z^3}$

$=\frac{3pqr}{3xyz}$    [যেহেতু, p+q+r=0 এবং x+y+z=0\)

                                            ∴   $p^3+q^3+r^3=3pqr$ 

                                            এবং $x^3+y^3+z^3=2xyz]$

$=\frac{3(b^2-c^2)(c^2-a^2)(a^2-b^2)}{3(b-c)(c-a)(a-b)}$ [x, y, z এবং p, q, r এর মান বসিয়ে পাই]

$=(a+b)(b+c)(c+a)$

(ii) $a^3+b^3+c^3-3abc=0$ এবং a+b+c\neq0\) হলে,  

a,\ b ও c এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করো।  

সমাধানঃ 

$a^3+b^3+c^3-3abc=0$

বা, $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0$

বা, $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$ 

[যেহেতু, a+b+c\neq0]

বা, \({2a}^2+{2b}^2+{2c}^2-2ab-2bc-2ca = 0

বা, \(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ =\ 0

বা, \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0

∴ a-b=0, b-c=0 এবং c-a=0

বা, a=b বা, b=c বা, c=a

∴ নির্ণেয় সম্পর্কটি হল a=b=c

(iii) $a^2-b^2=224$ এবং a ও b(a<b) ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলে, a ও b এর মান লিখি।  

সমাধানঃ 

        $a^2-b^2=224$

বা, $(a+b)(a-b)=(-16)\times (-14)$

$a+b=-16$ (1)  

এবং a-b=-14\) (2)

(1) নং  ও (2) নং যোগ করে পাই 

2a=-30

∴ a=-15

(1) নং সমীকরণে a=-15 বসিয়ে পাই

-15+b=-16

∴ b=-1

[***উত্তর আলাদা ও হতে পারে।] 

(iv) 3x=a+b+c হলে, 

${(x-a)}^3+{(x-b)}^3+{(x-c)}^3-3(x-a)(x-b)(x-c)$ এর মান কত ?  

সমাধানঃ

3x=a+b+c

বা, x+x+x-a-b-c=0

বা, (x-a)+(x-b)+(x-c)=0

∴ ${(x-a)}^3+{(x-b)}^3+{(x-c)}^3$

$=3(x-a)(x-b)(x-c)$

${(x-a)}^3+{(x-b)}^3+{(x-c)}^3-3(x-a)(x-b)(x-c)$

$=3(x-a)(x-b)(x-c)-3(x-a)(x-b)(x-c)$

$=0$

(v) $2x^2+px+6=(2x-a)(x-2)$ একটি অভেদ হলে a ও p এর মান কত লিখি। 

সমাধানঃ

$2x^2+px+6=(2x-a)(x-2)$

বা, $2x^2+px+6=2x^2-4x-ax+2a$

বা, $2x^2+px+6=x^2-(4+a)x+2a$

∴    p=-(4+a) এবং 6=2a

বা,  p=-(4+3) ∴ a=3

∴    p=-7

∴ a=4, p=7