নবম শ্রেণী কষে দেখি 8.1 সমাধান
নীচের বহুপদী সংখ্যামালাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো।
1. \(x^3-3x+2\)
সমাধানঃ
\(\ x^3-3x+2\)
\(=\ x^3-1-3x+3\)
\(=\ (x-1)(x^2+x+1)-3(x-1)\)
\(=\ (x-1)(x^2+x+1-3)\)
\(=\ (x-1)(x^2+x-2)\)
\(=\ (x-1)(x^2+2x-x-2)\ \)
\(=\ (x-1){x(x+2)-1(x+2)}\ \)
\(=\ (x-1)(x+2)(x-1)\)
2. \(x^3+2x+3\)
সমাধানঃ
\(x^3+2x+3\)
\(=\ x^3+1+2x+2\)
\(=\ (x+1)(x^2-x+1)+2(x+1)\)
\(=\ (x+1)(x^2-x+1+2)\)
\(=\ (x+1)(x^2-x+3)\)
3. \(a^3-12a-16\)
সমাধানঃ
\(a^3-12a-16\)
\(=\ a^3+8-12a-24\)
\(=\ a^3+2^3-12(a+2)\)
\(=(a+2)(a^2-2a+4)\ -12(a+2)\)
\(=(a+2)(a^2-2a+4\ -12)\)
\(=(a+2)(a^2-2a-8)\)
\(=(a+2)(a^2-4a+2a-8)\)
\(=(a+2){a(a-4)+2(a-4)}\)
\(=(a+2)(a-4)(a+2)\)
\(=\left(a+2\right)^2(a-4)\)
4. \(x^3-6x+4\)
সমাধানঃ
\(x^3-6x+4\)
\(=x^3-8-6x+12\)
\(=\ x^3-2^3-6(x-2)\)
\(=(x-2)(x^2+2x+4)\ -6(x-2)\)
\(=(x-2)(x^2+2x+4\ -6)\)
\(=(x-2)(x^2+2x-2)\)
5. \(x^3-19x-30\)
সমাধানঃ
\(x^3-19x-30\)
\(=\ x^3+8-19x-38\)
\(=\ x^3+2^3-19(x+2)\)
\(=(x+2)(x^2-2x+4)\ -19(x+2)\)
\(=(x+2)(x^2-2x+4\ -19)\)
\(=(x+2)(x^2-2x-15)\)
\(=(x+2)(x^2-5x+3x-15)\)
\(=(x+2){x(x-5)x+3(x-5)}\)
\(=(x+2)(x-5)(x+3)\)
6. \(4a^3-9a^2+3a+2\)
সমাধানঃ
ধরি, \(f(a)=4a^3-9a^2+3a+2\)
দেখছি, \(f(1)=\ 4\times\left(1\right)^3-9{\times\left(1\right)}^2+3\times(1)+2\)
\(=4-9+3+2=0\)
∴ গুণনীয়ক উপপাদ্য থেকে পাই, (a-1), f(a) এর একটি উৎপাদক
\(4a^3-9a^2+3a+2\)
=\(4a^3-4a^2-5a^2+5a-2a+2\)
=\(4a^2(a-1)-5a(a-1)-2(a-1)\)
=\((a-1)(4a^2-5a-2)\)
7. \(x^3-9x^2+23x-15\)
সমাধানঃ
ধরি, \(f(x)=\ x^3-9x^2+23x-15\)
দেখছি, \(f(1)=\left(1\right)^3-9\left(1\right)^2+23(1)-15\)
\(=1-9+23-15=0\)
∴ গুণনীয়ক উপপাদ্য থেকে পাই, (x-1), f(x) এর একটি উৎপাদক
\(x^3-9x^2+23x-15\)
\(=\ x^3-x^2-8x^2+8x+15x-15\)
\(=x^2(x-1)-8x(x-1)+15(x-1)\)
\(=(x-1)(x^2-8x+15)\)
\(=(x-1)(\ x^2-5x-3x+15)\)
\(=(x-1){x(\ x-5)-3(x-5)}\)
\(=(x-1)(x-5)(x-3)\)
8. \(5a^3+11a^2+4a-2\)
সমাধানঃ
ধরি, \(f(a)=\ 5a^3+11a^2+4a-2\)
দেখছি, \(f(-1)=\ 5\left(-1\right)^3+11\left(-1\right)^2+4(-1)-2\)
\(= -5+11-4-2=0\)
∴ গুণনীয়ক উপপাদ্য থেকে পাই, (a+1),\ f(a) এর একটি উৎপাদক
\(5a^3+11a^2+4a-2\)
\(=5a^3+5a^2+6a^2+6a-2a-2\)
\(=5a^2(a+1)+6a(a+1)-2(a+1)\)
\(=(a+1)(5a^2+6a-2)\)
9. \(2x^3-x^2+9x+5\)
সমাধানঃ
ধরি, \(f(x)=\ 2x^3-x^2+9x+5\)
দেখছি, \(f\left(-\frac{1}{2}\right)=\ 2\left(-\frac{1}{2}\right)^3-\left(-\frac{1}{2}\right)^2+9\left(-\frac{1}{2}\right)+5\)
\(=-\frac{2}{8}-\frac{1}{4}-\frac{9}{2}+5\)
\(=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-\frac{9}{2}+5\)
\(=\frac{-1-1-18+20}{4}\)
\(=\frac{0}{4}=0\)
∴ গুণনীয়ক উপপাদ্য থেকে পাই, (2x+1),\ f(x) এর একটি উৎপাদক
\(2x^3-x^2+9x+5\)
\(= 2x^3+x^2-2x^2-x+10x+5\)
\(= x^2(2x+1)-x(2x+1)+5(2x+1)\)
\(=(2x+1)(x^2-x+5)\)
10. 2y^3-5y^2-19y+42
সমাধানঃ
ধরি, \(f(y)=\ 2y^3-5y^2-19y+42\)
দেখছি, \(f(2)=\ 2\times\left(2\right)^3-5\times\left(2\right)^2-19\times2+42\)
\(=\ 16-20-38+42\ =0\)
∴ গুণনীয়ক উপপাদ্য থেকে পাই, (y-2),\ f(y) এর একটি উৎপাদক
\(2y^3-5y^2-19y+42\)
\(=2y^3-4y^2-y^2+2y-21y+42\)
\(=\ 2y^2(y-2)-y(y-2)-21(y-2)\)
\(=(y-2)(2y^2-y-21)\)
\(=(y-2)(2y^2-7y+6y-21)\)
\(=(y-2){y(2y-7)+3(2y-7)}\)
\(=(y-2)(2y-7)(y+3)\)
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