4. স্থানাঙ্ক জ্যামিতিঃ দূরত্ব নির্ণয় (Co-Ordinate Geometry: Distance Formula) | কষে দেখি 4 | Exercise 4 | Part 3 | Ganit Prabha Class IX math solution | WBBSE Class 9 Math Solution in Bengali
15. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):
(i) (a+b,c-d) এবং (a-b,c+d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব
a. \(2\sqrt{a^2+c^2}\)
b. \(2\sqrt{b^2+d^2}\)
c. \(\sqrt{a^2+c^2}\)
d. \(\sqrt{b^2+d^2}\)
সমাধানঃ a. \(2\sqrt{a^2+c^2}\)
b. \(2\sqrt{b^2+d^2}\)
c. \(\sqrt{a^2+c^2}\)
d. \(\sqrt{b^2+d^2}\)
(a+b,c-d) এবং (a-b,c+d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব
= \(\sqrt{\left(a+b-a+b\right)^2+\left(c-d-c-d\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{\left(2b\right)^2+\left(-2d\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{4b^2+4d^2}\) একক
= \(\sqrt{4(b^2+d^2)}\) একক
= \(2\sqrt{b^2+d^2}\) একক
উত্তরঃ b. \(2\sqrt{b^2+d^2}\)
(ii) (x,-7) এবং (3,-3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 5 একক হলে, x এর মানগুলি হল
a. 0 অথবা 6 b. 2 অথবা 6 c. 5 অথবা 1 d. -6 অথবা 0
সমাধানঃ a. 0 অথবা 6 b. 2 অথবা 6 c. 5 অথবা 1 d. -6 অথবা 0
(x,-7) এবং (3,-3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
=\(\sqrt{\left(x-3\right)^2+\left(-7+3\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{x^2-6x+9+\left(-4\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{x^2-\mathrm{6x} +9+16}\) একক
=\(\sqrt{x^2-\mathrm{6x} +25}\) একক
শর্তানুসারে,
\(\sqrt{x^2-\mathrm{6x} +25}=5\)
বা, \(x^2-6x+25=5^2\)
বা, \(x^2-6x+25-25=0\)
বা, \(x^2-6x=0\)
বা, x(x-6)=0
হয় x=0
অথবা x-6=0 বা, x=6
উত্তরঃ a. 0 অথবা 6
(iii) যদি (x,4) বিন্দুটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 5 একক হয়, তাহলে x এর মান
a. ±4 b. ±5 c. ±3 d. কোনটিই নয়
(x,4) বিন্দুটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 5 একক হলে
\(\sqrt{x^2+4^2}=5\)
বা, \(x^2+4^2=5^2\)
বা, \(x^2=25-16\)
বা, \(x^2=9\)
বা, \(x=\pm3\)
উত্তরঃ c. ±3
(iv) (3,0),(-3,0) এবং (0,3) বিন্দু তিনটি যোগ করে যে ত্রিভুজটি উৎপন্ন হয়, সেটি
a. সমবাহু b. সমদ্বিবাহু c. বিষমবাহু d. সমকোণী সমদ্বিবাহু
মনে করি, A(3,0), B(-3,0) ও C(0,3) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু
AB এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{{(3+3)}^2+{(0-0)}^2}\) একক
=\(\sqrt{\mathrm{36+0}}\) একক
=\(\sqrt{\mathrm{36}}\) একক
= 6 একক
BC এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{{(-3-0)}^2+{(0-3)}^2}\) একক
=\(\sqrt{\mathrm{9+9}}\) একক
=\(\sqrt{\mathrm{18}}\) একক
"CA" এর দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{{(0-3)}^2+{(3-0)}^2}\) একক
=\(\sqrt{\mathrm{9+9}}\) একক
=\(\sqrt{\mathrm{18}}\) একক
∆ABC এর "BC=CA"
∴ ∆ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
উত্তরঃ b. সমদ্বিবাহু
(v) একটি বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0,0) এবং বৃত্তের উপরিস্থ একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3,4) হলে, বৃত্তটির ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য
a. 5 একক b. 4 একক c. 3 একক d. কোনোটিই নয়
বৃত্তটির ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য
= \(\sqrt{{(0-3)}^2+{(0-4)}^2}\) একক
= \(\sqrt{9+16}\) একক
= \(\sqrt{25}\) একক
= 5 একক
উত্তরঃ a. 5 একক
16. সংক্ষিপ্ত প্রশ্নঃ
(i) মূলবিন্দু থেকে (-4,y) বিন্দুর দূরত্ব 5 একক হলে, y এর মান কত লিখি।
মূলবিন্দু থেকে (-4,y) বিন্দুর দূরত্ব
=\(\sqrt{\left(-4\right)^2+\left(y\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{16+y^2}\) একক
শর্তানুসারে,
\(\sqrt{16+y^2}=5\)
বা, \(16+y^2=5^2\)
বা, \(y^2=25-16\)
বা, \(y^2=9\)
∴ \(y=\(\pm3\)
(ii) y অক্ষের উপর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যার থেকে (2,3) এবং (-1,2) বিন্দু দুটির দূরত্ব সমান।
মনে করি, y অক্ষের উপর নির্ণেয় বিন্দুটি হল (0,p)
(0, p) এবং (2, 3) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব
=\(\sqrt{\left(0-2\right)^2+\left(p-3\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{4+p^2-6p{+}9}\) একক
=\(\sqrt{p^2-\mathrm{6p} +13}\) একক
(0, p) এবং (-1, 2) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব
=\(\sqrt{\left(0+1\right)^2+\left(p-2\right)^2}\) একক
=\(\sqrt{1+p^2-4p{+}4}\) একক
=\(\sqrt{p^2-\mathrm{4p} +5}\) একক
শর্তানুসারে,
\(\sqrt{p^2-\mathrm{6p} +13}=\sqrt{p^2-\mathrm{4p} +5}\)
বা, \(p^2-6p+13=p^2-4p+5\)
বা, \(p^2-6p+13-p^2+4p-5=0\)
বা, -2p+8=0
বা, -2p=-8
বা, p=4
∴ নির্ণেয় বিন্দুটি হল (0,4)
(iii) x অক্ষ এবং y অক্ষের উপর দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাতে x অক্ষ, y অক্ষ এবং বিন্দু দুটির সংযোগকারী সরলরেখাংশ দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু হয়।
মনে করি, x অক্ষের উপর বিস্তৃত বিন্দুটি হল (3,0)
এবং y অক্ষের উপর বিস্তৃত বিন্দুটি হল (0,3)
x অক্ষ এবং y অক্ষ পরস্পরকে (0,0) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
(0,0) এবং (3,0) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব = 3 একক
(0,0) এবং (0,3) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব = 3 একক
(3,0) এবং (0,3) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব
= \(\sqrt{\left(3-0\right)^2+\left(0-3\right)^2}\) একক
= \(\sqrt{9+9}\) একক
= \(\sqrt{18}\) একক
আবার \(3^2+3^2 = 9+9\)
= 18 = \(\left(\sqrt{\mathrm{18}}\right)^\mathrm{2}\)
∴ এক্ষেত্রে উৎপন্ন ত্রিভুজটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু।
(iv) x অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব x অক্ষ থেকে সমান।
x অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল (3,4) ও (1,-4) এদের দূরত্ব x অক্ষ থেকে সমান।
(v) y অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব y অক্ষ থেকে সমান।
y অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল (-3,1) ও (3,4) এদের দূরত্ব y অক্ষ থেকে সমান।
 | Part 3 | WBBSE Board Class 9 Math Solution){kind=link}
0 Comments