কষে দেখি 4 | 4.স্থানাঙ্ক জ্যামিতিঃ দূরত্ব নির্ণয় (Co-Ordinate Geometry: Distance Formula) | Part 3 | WBBSE Board Class 9 Math Solution

4. স্থানাঙ্ক জ্যামিতিঃ দূরত্ব নির্ণয় (Co-Ordinate Geometry: Distance Formula) | কষে দেখি 4 | Exercise 4 | Part 3 | Ganit Prabha Class IX math solution | WBBSE Class 9 Math Solution in Bengali

• নবম শ্রেণী । কষে দেখি 4 | Part 1 (Q1 to Q6)
• নবম শ্রেণী । কষে দেখি 4 | Part 2 (Q7 to Q14)
• নবম শ্রেণী । কষে দেখি 4 | Part 3 (Q15 & Q16)

15. বহু বিকল্পীয় প্রশ্ন (M.C.Q):

(i) (a+b,c-d) এবং (a-b,c+d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব
a. $2\sqrt{a^2+c^2}$
b. $2\sqrt{b^2+d^2}$
c. $\sqrt{a^2+c^2}$
d. $\sqrt{b^2+d^2}$

সমাধানঃ

(a+b,c-d) এবং (a-b,c+d) বিন্দু দুটির মধ্যে দূরত্ব
= $\sqrt{{(a+b-a+b)}^2+{(c-d-c-d)}^2}$ একক
= $\sqrt{{\left(2b\right)}^2+{(-2d)}^2}$ একক
= $\sqrt{4b^2+4d^2}$ একক
= $\sqrt{4(b^2+d^2)}$ একক
= $2\sqrt{b^2+d^2}$ একক
উত্তরঃ b. $2\sqrt{b^2+d^2}$

(ii) (x,-7) এবং (3,-3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব 5 একক হলে, x এর মানগুলি হল
a. 0 অথবা 6     b. 2 অথবা 6     c. 5 অথবা 1     d. -6 অথবা 0

সমাধানঃ

(x,-7) এবং (3,-3) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব
=$\sqrt{{(x-3)}^2+{(-7+3)}^2}$ একক
=$\sqrt{x^2-6x+9+{(-4)}^2}$ একক
=$\sqrt{x^2-6\mathrm{x}+9+16}$ একক
=$\sqrt{x^2-6\mathrm{x}+25}$ একক
শর্তানুসারে,
$\sqrt{x^2-6\mathrm{x}+25}=5$
বা, $x^2-6x+25=5^2$
বা, $x^2-6x+25-25=0$
বা, $x^2-6x=0$
বা, x(x-6)=0
হয় x=0
অথবা x-6=0 বা, x=6
উত্তরঃ a. 0 অথবা 6

(iii) যদি (x,4) বিন্দুটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 5 একক হয়, তাহলে x এর মান  

a. ±4 b. ±5 c. ±3 d. কোনটিই নয় 

 (x,4) বিন্দুটির মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব 5 একক হলে 

$\sqrt{x^2+4^2}=5$ 

বা, $x^2+4^2=5^2$ 

বা, $x^2=25-16$ 

 বা, $x^2=9$ 

বা, $x=\pm 3$ 

উত্তরঃ c. ±3 

 

(iv) (3,0),(-3,0) এবং (0,3) বিন্দু তিনটি যোগ করে যে ত্রিভুজটি উৎপন্ন হয়, সেটি  

a. সমবাহু b. সমদ্বিবাহু c. বিষমবাহু d. সমকোণী সমদ্বিবাহু 

মনে করি, A(3,0), B(-3,0) ও C(0,3) বিন্দুগুলি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু 

AB এর দৈর্ঘ্য 

= $\sqrt{{(3+3)}^2+{(0-0)}^2}$ একক

=$\sqrt{36+0}$ একক

=$\sqrt{36}$ একক

= 6 একক 

BC এর দৈর্ঘ্য 

 = $\sqrt{{(-3-0)}^2+{(0-3)}^2}$ একক 

=$\sqrt{9+9}$ একক

=$\sqrt{18}$ একক 

 "CA" এর দৈর্ঘ্য 

= $\sqrt{{(0-3)}^2+{(3-0)}^2}$ একক

=$\sqrt{9+9}$ একক 

=$\sqrt{18}$ একক 

∆ABC এর "BC=CA" 

 ∴ ∆ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ 

 উত্তরঃ b. সমদ্বিবাহু 

 

(v) একটি বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0,0) এবং বৃত্তের উপরিস্থ একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (3,4) হলে, বৃত্তটির ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য 

a. 5 একক b. 4 একক c. 3 একক d. কোনোটিই নয় 

বৃত্তটির ব্যসার্ধের দৈর্ঘ্য 

 = $\sqrt{{(0-3)}^2+{(0-4)}^2}$ একক 

= $\sqrt{9+16}$ একক 

= $\sqrt{25}$ একক 

 = 5 একক 

 উত্তরঃ a. 5 একক

16. সংক্ষিপ্ত প্রশ্নঃ

(i) মূলবিন্দু থেকে (-4,y) বিন্দুর দূরত্ব 5 একক হলে, y এর মান কত লিখি।

মূলবিন্দু থেকে (-4,y) বিন্দুর দূরত্ব

=$\sqrt{{(-4)}^2+{\left(y\right)}^2}$ একক

=$\sqrt{16+y^2}$ একক

শর্তানুসারে,

$\sqrt{16+y^2}=5$

বা, $16+y^2=5^2$

বা, $y^2=25-16$

বা, $y^2=9$

∴ $y=\text{(}\pm 3$

(ii) y অক্ষের উপর একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যার থেকে (2,3) এবং (-1,2) বিন্দু দুটির দূরত্ব সমান।

মনে করি, y অক্ষের উপর নির্ণেয় বিন্দুটি হল (0,p)

(0, p) এবং (2, 3) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব

=$\sqrt{{(0-2)}^2+{(p-3)}^2}$ একক

=$\sqrt{4+p^2-6p+9}$ একক

=$\sqrt{p^2-6\mathrm{p}+13}$ একক

(0, p) এবং (-1, 2) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব

=$\sqrt{{(0+1)}^2+{(p-2)}^2}$ একক

=$\sqrt{1+p^2-4p+4}$ একক

=$\sqrt{p^2-4\mathrm{p}+5}$ একক

শর্তানুসারে,

$\sqrt{p^2-6\mathrm{p}+13}=\sqrt{p^2-4\mathrm{p}+5}$

বা, $p^2-6p+13=p^2-4p+5$

বা, $p^2-6p+13-p^2+4p-5=0$

বা, -2p+8=0

বা, -2p=-8

বা, p=4

∴ নির্ণেয় বিন্দুটি হল (0,4)

(iii) x অক্ষ এবং y অক্ষের উপর দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাতে x অক্ষ, y অক্ষ এবং বিন্দু দুটির সংযোগকারী সরলরেখাংশ দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু হয়।

মনে করি, x অক্ষের উপর বিস্তৃত বিন্দুটি হল (3,0) 

এবং y অক্ষের উপর বিস্তৃত বিন্দুটি হল (0,3)  

x অক্ষ এবং y অক্ষ পরস্পরকে (0,0) বিন্দুতে ছেদ করেছে।

(0,0) এবং (3,0) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব = 3 একক

(0,0) এবং (0,3) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব = 3 একক

(3,0) এবং (0,3) বিন্দুদুটির মধ্যে দূরত্ব 

= $\sqrt{{(3-0)}^2+{(0-3)}^2}$ একক

= $\sqrt{9+9}$ একক 

= $\sqrt{18}$ একক

আবার $3^2+3^2=9+9$

    = 18 = ${\left(\sqrt{18}\right)}^2$

∴ এক্ষেত্রে উৎপন্ন ত্রিভুজটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু। 

(iv) x অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব x অক্ষ থেকে সমান।

x অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল (3,4) ও (1,-4) এদের দূরত্ব x অক্ষ থেকে সমান।

(v) y অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক লিখি যাদের দূরত্ব y অক্ষ থেকে সমান।

y অক্ষের বিপরীত দিকে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক হল (-3,1) ও (3,4) এদের দূরত্ব y অক্ষ থেকে সমান।

• নবম শ্রেণী । কষে দেখি 4 | Part 1 (Q1 to Q6)
• নবম শ্রেণী । কষে দেখি 4 | Part 2 (Q7 to Q14)
• নবম শ্রেণী । কষে দেখি 4 | Part 3 (Q15 & Q16)