1. পূর্বপাঠের পুনরালোচনা | কষে দেখি 1.2 | Exercise 1.2 | Ganit Prabha Class VIII math solution | WBBSE Class 8 Math Solution in Bengali
অষ্টম শ্রেণী কষে দেখি 1.2 সমাধান 👇
1. নীচের প্রত্যেকটির n-তম (n ধনাত্মক পূর্নসংখ্যা ) সজ্জায় প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা লিখি :
(i)
দ্বিতীয় সজ্জায় কাঠির সংখ্যা =11=6×2-(2-1)
তৃতীয় সজ্জায় কাঠির সংখ্যা =16=6×3-(3-1)
n-তম সজ্জায় কাঠির সংখ্যা =6×n-(n-1)
=6n-n+1=5n+1
(ii)
প্রথম সজ্জায় কাঠির সংখ্যা =7=5×1+2
দ্বিতীয় সজ্জায় কাঠির সংখ্যা =12=5×2+2
তৃতীয় সজ্জায় কাঠির সংখ্যা =17=5×3+2
n-তম সজ্জায় কাঠির সংখ্যা =5×n+2=5n+2
(iii)
প্রথম সজ্জায় কাঠির সংখ্যা =5=1+4×1
দ্বিতীয় সজ্জায় কাঠির সংখ্যা =9=1+4×2
তৃতীয় সজ্জায় কাঠির সংখ্যা =13=1+4×3
n-তম সজ্জায় কাঠির সংখ্যা =1+4×n=1+4n
2. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য (4y+2) সেমি. হলে ত্রিভুজটির পরিসীমা লিখি।
সমাধানঃ
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য (4y+2) সেমি.
∴ সমবাহু ত্রিভুজটির পরিসীমা = 3(4y+2) সেমি.
= (12y+6) সেমি.
3. একটি আয়তকারক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (8x+3y) সেমি. এবং প্রস্থ (8x-3y) সেমি.। ওই আয়তকারক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল লিখি।
সমাধানঃ
আয়তকারক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (8x+3y) সেমি. এবং প্রস্থ (8x-3y) সেমি.
∴ আয়তকারক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ক্ষেত্রফল
=(8x+3y)(8x-3y) বর্গসেমি.
=\(\left\{{(8x)}^2-\left(3y\right)^2\right\}\) বর্গসেমি.
=\(\left(64x^2-9y^2\right)\) বর্গসেমি.
4. বর্গাকারক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য (3m-4) মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত হবে m এর মাধ্যমে লিখি। m এর মান কত হলে এই বর্গাকারক্ষেত্রের পরীসীমা 8 মিটার হবে হিসাব করে লিখি।
বর্গাকারক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য (3m-4) মিটার
∴ বর্গাকারক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =\(\left(3m-4\right)^2\) বর্গমিটার
বর্গাকারক্ষেত্রের পরিসীমা =4(3m-4) মিটার
আবার বর্গাকারক্ষেত্রের পরীসীমা 8 মিটার
∴ 4(3m-4)=8
বা, \(3m-4=\frac{8}{4}\)
বা, 3m=2+4
বা, 3m=6
∴ m=2
∴ m=2 হলে বর্গাকারক্ষেত্রের পরীসীমা 8 মিটার হবে।
5. নিচের ছক পূরন করি :
6. নিচের ছক দেখি ও লিখি :
7. সরল করি:
(i) (a-b)+(b-c)+(c-a)
সমাধানঃ
(a-b)+(b-c)+(c-a)
=a-b+b-c+c-a
=0
(ii) (a+b)(a-b)+(b+c)(b-c)+(c+a)(c-a)
সমাধানঃ
(a+b)(a-b)+(b+c)(b-c)+(c+a)(c-a)
=\(\left(a^2-b^2\right)+\left(b^2-c^2\right)+\left(c^2-a^2\right)\)
=\(a^2-b^2+b^2-c^2+c^2-a^2\)
=0
(iii) \(x^2\times\left(\frac{x\ }{y}-\ \frac{y}{x}\right)\times\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)\times y^2\)
সমাধানঃ
\(x^2\times\left(\frac{x\ }{y}-\frac{y}{x}\right)\times\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)\times y^2\)
\(=x^2\times\left(\frac{x^2-y^2}{xy}\right)\times\left(\frac{x^2+y^2}{xy}\right)\times y^2\)
\(=x^2\times\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)}{x^2y^2}\times y^2\)
\(=\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(=\left(x^2\right)^2-\left(y^2\right)^2\)
\(=x^4-y^4\)
(iv) a(b–c)+b(c-a)+c(a-b)
সমাধানঃ
a(b –c)+b(c-a)+c(a-b)
=ab – ac+bc- ab+ac-bc
=0
(v) \(x^2\left(y^2-z^2\right)+y^2\left(z^2-x^2\right)+z^2\left(x^2-y^2\right)\)
সমাধানঃ
\(x^2\ \left(y^2-z^2\right)+y^2\left(z^2-x^2\right)+z^2\left(x^2-y^2\right)\)
\(=x^2y^2-x^2z^2+y^2z^2-x^2y^2+\ x^2z^2\ -y^2z^2\)
=0
(vi) \(\left(x^3+y^3\right)\left(x^3-y^3\right)+\left(y^3+z^3\right)\left(y^3-z^3\right)\)
\(+\left(z^3+x^3\right)\left(z^3-x^3\right)\)
সমাধানঃ
\(\left(x^3+y^3\right)\left(x^3-y^3\right)+\left(y^3+z^3\right)\left(y^3-z^3\right)\)
\(+\left(z^3+x^3\right)\left(z^3-x^3\right)\)
\(=(x^3)^2-(y^3)^2+(y^3)^2-(z^3)^2+(z^3)^2-(x^3)^2\)
\(=x^6-y^6+y^6-z^6+z^6\ -x^6\)
=0
8. \(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\) এবং \(\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2\)\ _ এই অভেদগুলি ব্যবহার করে নীচের সংখ্যামালাগুলি বর্গ করি-
(i) 5x-2y (ii) 7+2m (ii) x+y+z (iv) a+b-c-d
সমাধানঃ
(i) \(\left(5x-2y\right)\) এর বর্গ
\(=\left(5x-2y\right)^2\)
\(=\left(5x\right)^2-2.5x.2y+\left(2y\right)^2\)
\(=25x^2-20xy+4y^2\)
(ii) \(\left(7+2m\right)\) এর বর্গ
\(=\left(7+2m\right)^2\)
\(=\left(7\right)^2+2.7.2m+\left(2m\right)^2\)
\(=49+28m+4m^2\)
(iii) \(\left(x+y+z\right)\) এর বর্গ
\(=\left(x+y+z\right)^2\)
\(=\left\{x+\left(y+z\right)\right\}^2\)
\(=x^2+2.x.\left(y+z\right)+\left(y+z\right)^2\)
\(=x^2+2xy+2xz+y^2+2yz+z^2\)
\(=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)
(iv) \(\left(a+b-c-d\right)\) এর বর্গ
\(=\left(a+b-c-d\right)^2\)
\(=\left\{\left(a+b\right)-\left(c+d\right)\right\}^2\)
\(=\left(a+b\right)^2-2\left(a+b\right)\left(c+d\right)+\left(c+d\right)^2\)
\(=a^2+2ab+b^2-2ac-2ad-2bc-2bd\)
\(+c^2+2cd+d^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2cd\ -2ac-2ad-2bc-2bd\)
9. \(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\) এবং \(\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2\) -এই অভেদগুলি ব্যবহার করে নিচের সংখ্যামালাগুলি পূর্নবর্গাকারে প্রকাশ করি-
(i) \(9x^2+\frac{9}{25y^2\ }-\frac{18x}{5y}\)
(ii) \(25m^2\ –70mn+49n^2\)
(iii) \((2a-b)^2+\left(4a-2b\right)\left(a+b\right)+(a+b)^2\)
(iv) \(\frac{p^2}{q^2}+\frac{q^2}{p^2}-2\)
সমাধানঃ
(i)
\(9x^2+\frac{9}{25y^2\ }-\frac{18x}{5y}\)
\(=\left(3x\right)^2+\left(\frac{3}{5y\ }\right)^2-\frac{18x}{5y}\)
\(=\left(3x\right)^2-2.3x.\frac{3x}{5y}\ \ +\left(\frac{3}{5y\ }\right)^2\)
\(=\left(3x-\frac{3}{5y}\right)^2\)
(ii)
\(25m^2\ –70mn+49n^2\)
\(=\left(5m\right)^2-2.5m.7n+\left(7n\right)^2\)
\(=\left(5m-7n\right)^2\)
(iii)
\((2a – b)^2+(4a-2b)(a+b)+(a+b)^2\)
\(=(2a– b)^2+2(2a-b)(a+b)+(a+b)^2\)
\(=\left\{\left(2a-b\right)+\left(a+b\right)\right\}^2\)
\(=\left(2a-b+a+b\right\}^2\)
\(=\left(3a\right)^2\)
(iv)
\(\frac{p^2}{q^2}+\frac{q^2}{p^2}-2\)
\(=\frac{p^2}{q^2}-2+\frac{q^2}{p^2}\)
\(=\left(\frac{p}{q}\right)^2-2.\frac{p}{q}.\frac{q}{p}+\left(\frac{q}{p}\right)^2\)
\(=\left(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right)^2\)
10. নিচের সংখ্যামালাকে দুটি বর্গের অন্তররূপের প্রকাশ করি:
(i) 391 ×
সমাধানঃ
(i)
391 ×
= (400 - 9)(400 + 9)
= \(400^2-9^2\)
(ii)
(4x+3y)(2x-3y)
= (3x+x+3y)(3x-x-3y)
= {3x+(x+3y)}{3x - (x+3y)}
= \((3x)^2-(x+3y)^2\)
(iii)
x
= \(x\times1\)
11. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:
(i) \(225m^2-\ 100n^2\)
সমাধানঃ
\(225m^2-100n^2\)
\(=\left(15m\right)^2-\left(10n\right)^2\)
\(=\left(15m+10n\right)\left(15m-10n\right)\)
(ii) \(25x^2-\frac{1}{9}y^2z^2\)
সমাধানঃ
\(25x^2-\frac{1}{9}y^2z^2\)
\(=(5x)^2-\left(\frac{1}{3}yz\right)^2\)
\(=\left(5x+\frac{1}{3}yz\right)\left(5x-\frac{1}{3}yz\right)\)
(iii) \(7ax^2+14ax+7a\)
সমাধানঃ
\(7ax^2+14ax+7a\)
\(=7a\left(x^2+2x+1\right)\)
\(=7a\left(x^2+2.x.1+1^2\right)\)
\(=7a\left(x+1\right)^2\)
\(=7a\left(x+1\right)\left(x+1\right)\)
(iv) \(3x^4\ –6x^2a^2+3a^4\)
সমাধানঃ
\(3x^4\ –6x^2a^2+3a^4\)
\(=3x^4 –2x^2a^2+a^4\)
\(=3\left\{\left(x^2\right)^2-2.x^2.a^2+\left(a^2\right)^2\right\}\)
\(=3\left(x^2-\ a^2\right)^2\)
\(=3\left(x^2-\ a^2\right)\left(\ x^2-\ a^2\right)\)
\(=3\left(x+a\right)\left(x-a\right)\ \left(x+a\right)\left(x-a\right)\)
\(=3\left(x-a\right)\left(x-a\right)\left(x+a\right)\left(x+a\right)\)
(v) \(4b^2c^2 –(b^2+c^2 –a^2)^2\)
সমাধানঃ
\(4b^2c^2 –(b^2+c^2 –a^2)^2\)
\(=\left(2bc\right)^2\ –(b^2+c^2 –a^2)^2\)
\(=(2bc+ b^2+c^2 –a^2)(2bc-b^2-c^2+a^2)\)
\(=(b^2+2bc +c^2 –a^2)(a^2+2bc-b^2-c^2)\)
\(=\{\left(b+c\right)^2-a^2\}\{a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)\}\)
\(=\left(b+c+a\right)\{\left(b+c-a\right)\{a^2-\left(b-c\right)^2\}\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\)
(vi) \(64ax^2\ –49a(x – 2y)^2\)
সমাধানঃ
\(\ 64ax^2\ –49a(x – 2y)^2\)
\(=a\{64x^2\ –49(x – 2y)^2\}\)
\(=a\left[\left(8x\right)^2-\left\{7\left(x-2y\right)\right\}^2\right]\)
\(=a\{\left(8x\right)^2-\left(7x-14y\right)^2\}\)
\(=a\left(8x+7x-14y\right)\left(8x-7x+14y\right)\)
\(=a\left(15x-14y\right)\left(x+14y\right)\)
(vii) \(x^2\ –9–4xy+4y^2\)
সমাধানঃ
\(x^2\ –9–4xy+4y^2\)
\(=x^2–4xy+4y^2–9\)
\(=x^2–2.x.2y+(2y)^2–9\)
\(=\left(x-2y\right)^2–3^2\)
\(=\left(x-2y+3\right)\left(x-2y-3\right)\)
(viii) \(x^2-\ 2x\ –y^2+2y\)
সমাধানঃ
\(x^2-\ 2x\ –y^2+2y\)
\(=x^2–y^2-2x+2y\)
\(=\left(x+y\right)\left(x-y\right)-2\left(x-y\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(x+y-2\right)\)
(ix) \(3+2a\ – a^2\)
সমাধানঃ
\(3+2a – a^2\)
\(=1+2+2a – a^2\)
\(=1^2-a^2+2+2a\)
\(=\left(1+a\right)\left(1-a\right)+2\left(1+a\right)\)
\(=\left(1+a\right)\left(1-a+2\right)\)
\(=\left(1+a\right)\left(3-a\right)\)
\(=\left(3-a\right)\left(a+1\right)\)
(x) \(x^4\ –1\)
সমাধানঃ
\(x^4\ –1\)
\(=\left(x^2\right)^2\ –1^2\)
\(=\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)\)
\(=\left(x^2+1\right)\left(x^2-1^2\right)\)
\(=\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)\)
(xi) \(a^2–b^2–c^2+2bc\)
সমাধানঃ
\(a^2\ –b^2–c^2+2bc\)
\(=a^2–b^2+2bc–c^2\)
\(=a^2–(b^2-2bc+c^2)\)
\(=a^2– (b-c)^2\)
\(=\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\)
(xii) \(ac+\ bc\ +\ a+b\)
সমাধানঃ
\(ac\ +\ bc\ +\ a+b\)
\(=\ c\left(a+b\right)+1\left(a+b\right)\)
\(=\ \left(a+b\right)\left(c+1\right)\)
(xiii) \(x^4\ +\ x^2y^2\ +\ y^4\)
সমাধানঃ
\(x^4+x^2y^2+y^4\)
\(=x^4+2x^2y^2-x^2y^2+y^4\)
\(=x^4+2x^2y^2+y^4-x^2y^2\)
\(=\left(x^2+y^2\right)^2-\left(xy\right)^2\)
\(=\left(x^2+y^2+xy\right)\left(\ x^2+y^2-xy\right)\)
12. সূত্রের সাহায্য গুন করি:
(i) \(\left(xy+pq\right)xy–pq\)
সমাধানঃ
\(\left(xy+pq\right)xy–pq\)
\(=\left(xy\right)^2-\left(pq\right)^2\)
\(=\left(xy+pq\right)\left(xy-pq\right)\ \)
(ii) \(49\times51\)
সমাধানঃ
\(49\times51\)
\(=\left(50-1\right)\left(50+1\right)\)
\(=\left(50\right)^2-\left(1\right)^2\)
\(=2500-1\)
=2499
(iii) \((2x –y+3z)(2x+y+3z)\)
সমাধানঃ
\((2x –y+3z)(2x+y+3z)\)
\(=(2x +3z–y)(2x+3z+y)\)
\(=\left(2x+3z\right)^2-y^2\)
\(=\left(2x\right)^2+2.2x.3z+\left(3z\right)^2-y^2\)
\(=4x^2+12xz+9z^2-y^2\)
(iv) \(1511\times1489\)
সমাধানঃ
\((1500+11)(1500-11)\)
\(=1500^2+11^2\)
\(=2250000-121\)
=2249879
(v) \(a –2a+2a^2+4\)
সমাধানঃ
\(a –2a+2a^2+4\)
\(=a^2–22a^2+4\)
\(=\left(a^2+4\right)\left(\ a^2+4\right)\)
\(=\left(a^2\right)^2-\left(4\right)^2\)
\(=a^4-16\)
(vi) (a+b-c)(b+c-a)
সমাধানঃ
a+b–cb+c–a
\(=b+a–cb–a+c\)
\(=b+\left(a-c\right)b-\left(a-c\right)\)
\(=b^2-\left(a-c\right)^2\)
\(=b^2-\left(a^2-2ac+c^2\right)\)
\(=b^2-a^2+2ac-c^2\)
\(=b^2-a^2-c^2+2ac\)
13. (a) \(x+\frac{1}{x}=4\) হলে দেখাই যে \(x^2+\frac{1}{x^2}=14\) ও \(x^4+\frac{1}{x^4}=194\)
সমাধানঃ
\(x+\frac{1}{x}=4\)
বা, \(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=4^2\) [উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই]
বা, \(x^2+2.x.\frac{1}{x}+\left(\frac{1}{x}\right)^2=16\)
বা, \(x^2+2+\frac{1}{x^2}=16\)
বা, \(x^2+\frac{1}{x^2}=16-2\)
∴ \(x^2+\frac{1}{x^2}=14\) [প্রমাণিত]
\(x^2+\frac{1}{x^2}=14\)
বা, \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2={14}^2\) [উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই]
বা, \(\left(x^2\right)^2+2.x^2.\frac{1}{x^2}+\left(\frac{1}{x^2}\right)^2=196\)
বা, \(x^4+2+\frac{1}{x^4}=196\)
বা, \(x^4+\frac{1}{x^4}=196-2\)
∴ \(x^4+\frac{1}{x^4}=194\) [প্রমাণিত]
13. (b) \(m+\frac{1}{m}=-\ 5\) হলে দেখাই যে \(m^2+\frac{1}{m^2}=23\)
সমাধানঃ
\(m+\frac{1}{m}=-\ 5\)
বা, \(\left(m+\frac{1}{m}\right)^2=\left(-\ 5\right)^2\)
বা, \(m^2+2.m.\frac{1}{m}+\left(\frac{1}{m}\right)^2=\left(-\ 5\right)^2\)
বা, \(m^2+2+\frac{1}{m^2}=25\)
বা, \(m^2+\frac{1}{m^2}=25-2\)
∴ \(m^2+\frac{1}{m^2}=23\) [প্রমাণিত]
13. (c) \(p-\frac{1}{p}=m\) হলে দেখাই যে
(i) \(p^2+\ \frac{1}{p^2}=m^2+2\) এবং (ii) \(\left(p+\frac{1}{p}\right)^2=m^2+4\)
সমাধানঃ
(i)
\(p-\frac{1}{p}=m\)
বা, \(\left(p-\frac{1}{p}\right)^2=m^2\) [উভয়পক্ষে বর্গ করে পাই]
বা, \(p^2-2.p.\frac{1}{p}+\left(\frac{1}{p}\right)^2=m^2\)
বা, \(p^2-2+\frac{1}{p^2}=m^2\)
∴ \(p^2+\frac{1}{p^2}=m^2+2\) [প্রমাণিত]
(ii)
\(\left(p+\frac{1}{p}\right)^2=\left(p-\frac{1}{p}\right)^2+4.p.\ \frac{1}{p}\)
\(=\ \left(m\right)^2+4\)
\(=m^2+4\)
∴ \(\left(p+\frac{1}{p}\right)^2=m^2+4\) [প্রমাণিত]
13.(d) a+b=5, a–b=1 হলে সূত্রের সাহায্য দেখাই যে,
\(8ab\left(a^2+b^2\right)=624\)
সমাধানঃ
\(8ab\left(a^2+b^2\right)\)
\(=\ 4ab.\ 2\left(a^2+b^2\right)\)
\(=\left\{\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2\right\}.\left\{\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\right\}\)
\(=\left\{\left(5\right)^2-\left(1\right)^2\right\}.\ \left\{\left(5\right)^2+\left(1\right)^2\right\}\)
\(=\left(25-1\right)\left(25+1\right)\)
\(=24\times26\)
=624
13. (e) x-y=3, xy=28 হলে \(\left(x^2+y^2\right)\) এর মান হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
\(x^2+y^2=\left(x-y\right)^2+2xy\)
\(=\left(3\right)^2+2.28\)
=9+56
=65
14. দুটি বর্গের সমষ্টিরূপে প্রকাশ করি:
(a) \(2\left(a^2+b^2\right)\)
সমাধানঃ
\(2\left(a^2+b^2\right)=2a^2+2b^2\)
\(=a^2+\ a^2+b^2+b^2\)
\(=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2\)
\(=\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\)
(b) \(50x^2+18y^2\)
সমাধানঃ
\(50x^2+18y^2\)
\(=\ 2\left(25x^2+9y^2\right)\)
\(=2.\left\{\left(5x\right)^2+\left(3y\right)^2\right\}\)
\(=\left(5x+3y\right)^2+\left(5x-3y\right)^2\)
(c) \(a^2+b^2+c^2+d^2+2ac –bd\)
সমাধানঃ
\(a^2+b^2+c^2+d^2+2ac –bd\)
\(=a^2+b^2+c^2+d^2+2ac\ –2bd\)
\(=a^2+2ac+c^2+b^2+2bd+d^2\)
\(=\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\)
15. (i) t এর কোন মানগুলির জন্য \(x^2\ –tx+\frac{1}{4}\) একটি পুর্নবর্গ সংখ্যামালা হবে তা লিখি।
সমাধানঃ
\(x^2-tx+\frac{1}{4}\)
\(=x^2+\frac{1}{4}-tx\)
\(=x^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2-tx\)
\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-2.x.\frac{1}{2}-tx\)
\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-x-tx\)
∴ -x-tx=0 হলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে
বা, tx=-x
বা, t=-1
আবার,
\(x^2-tx+\frac{1}{4}\)
\(=x^2+\frac{1}{4}-tx\)
\(=x^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2-tx\)
\(=\ \left(x-\frac{1}{2}\right)^2+2.x.\frac{1}{2}-tx\)
\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+x-tx\)
∴ x-tx=0 হলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে
বা, tx=x
বা, t=1
সুতরাং, \(t=\pm1\) হলে \(x^2\ –tx+\frac{1}{4}\) একটি পূর্নবর্গ সংখ্যামালা হবে।
15.(ii) \(a^2+4\) এর সঙ্গে কত যোগ করলে তা একটি পূর্নবর্গ সংখ্যামালা হবে লিখি।
সমাধানঃ
\(a^2+4=a^2+2^2\)
\(=\left(a-2\right)^2+2a.2\)
\(=\left(a-2\right)^2+4a\)
∴ \(a^2+4\) এর সঙ্গে 4a যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
আবার,
\(a^2+4=a^2+2^2\)
\(=\left(a+2\right)^2-2a.2\)
\(=\left(a+2\right)^2+\left(-4a\right)\)
∴ \(a^2+4\) এর সঙ্গে -4a যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
সুতরাং, \(a^2+4\) এর সঙ্গে \(\pm4a\) যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
15. (iii) a ও b ধনাত্মক পূর্নসংখ্যা এবং \(a^2–b^2=9×11\) হলে a ও b এর মান লিখি।
সমাধানঃ
\(a^2-b^2=9\times11\)
বা, \(\left(a+b\right)\left(a-b\right)=11\times9\)
বা, \(\left(a+b\right)\left(a-b\right)=\left(10-1\right)\left(10+1\right)\)
উভয়পক্ষকে তুলনা করে পাই,
a=10, b=1
15. (iv) \(\left(x+y\right)^2-\left(x-y\right)^2=4xy\) অভেদটি কি সমীকরণ? যুক্তিসহ লিখি।
সমাধানঃ
\(\left(x+y\right)^2-\left(x-y\right)^2\)
\(=x^2+2xy+y^2-\left(x^2-2xy+y^2\right)\)
\(=x^2+2xy+y^2-x^2+2xy-y^2\)
=4xy
সুতরাং, \(\left(x+y\right)^2-\left(x-y\right)^2=4xy\) হল একটি অভেদ।
\(\left(x+y\right)^2-\left(x-y\right)^2=4xy\) একটি অভেদ কারণ এটি x ও y এর সকল মানের জন্য সিদ্ধ হবে। সমীকরণ হলে এটি x ও y এর নির্দিষ্ট কিছু মানের জন্য সিদ্ধ হতো।
15. (v) শুন্য ছাড়া x ও y এর যেকোনো ধনাত্মক মানের জন্য \(\left(x^2+y^2\right)\) এর মান সর্বদাই হবে [ধনাত্মক/ঋণাত্মক]
সমাধানঃ
শুন্য ছাড়া x ও y এর যেকোনো ধনাত্মক মানের জন্য \(\left(x^2+y^2\right)\) এর মান সর্বদাই ধনাত্মক হবে।
কারণ, x এর যে কোনো ধনাত্মক মানের জন্য \(x^2\) সর্বদা ধনাত্মক
এবং y এর যে কোনো ধনাত্মক মানের জন্য \(y^2\) সর্বদা ধনাত্মক
যেহেতু, \(x^2\) ও \(y^2\) সর্বদা ধনাত্মক
সুতরাং, \(\left(x^2+y^2\right)\) এর মান সর্বদাই ধনাত্মক
16. সমাধান করিঃ
(i) 6x=72
সমাধানঃ
\(6x=72\)
বা, \(x=\frac{72}{6}\)
∴ \(x=12\)
∴ নির্ণেয় সমাধান, x=12
(ii) 9x+2=20
সমাধানঃ
9x+2=20
বা, 9x=20-2
বা, 9x=18
বা, x=\(\frac{18}{9}\)
∴ x=2
∴ নির্ণেয় সমাধান, x=2
(iii) 4x-2x+3=9-4x
সমাধানঃ
4x-2x+3=9-4x
বা, 4x-2x+4x=9-3
বা, 6x=6
বা, x=\(\frac{6}{6}\)
∴ x=1
∴ নির্ণেয় সমাধান, x=1
(iv) \(\frac{x}{4}-\frac{x}{2}=\frac{31}{2}-\frac{x}{3}\)
সমাধানঃ
\(\frac{x}{4}-\frac{x}{2}=\frac{31}{2}-\frac{x}{3}\)
বা, \(\frac{x}{4}-\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=\frac{31}{2}\)
বা, \(\frac{3x-6x+4x}{12}=\frac{7}{2}\)
বা, \(\frac{x}{12}=\frac{7}{2}\)
বা, \(x=\frac{7}{2}\times12\)
বা, x=42
∴ নির্ণেয় সমাধান, x=42
(v) \(2x-57-\left(x-6\right)+3x-28=39\)
সমাধানঃ
\(2x-57-\left(x-6\right)+3x-28=39\)
বা, \(2x-57-x+6+3x-28=39\)
বা, 2x-513+2x-28=39
বা, 2x-65-10x-28=39
বা, -8x-93=39
বা, -8x=39+93
বা, -8x=132
বা, \(x=-\frac{132}{8}\)
∴ \(x=-16\frac{1}{2}\)
∴ নির্ণেয় সমাধান, \(x=-16\frac{1}{2}\)
(vi)\(\frac{1}{3}\left(x-2\right)+\frac{1}{4}\left(x+3\right)=\frac{1}{5}\left(x+4\right)+15\)
সমাধানঃ
\(\frac{1}{3}\left(x-2\right)+\frac{1}{4}\left(x+3\right)=\frac{1}{5}\left(x+4\right)+15\)
বা, \(\frac{x-2}{3}+\frac{x+3}{4}-\frac{x+4}{5}=15\)
বা, \(\frac{20\left(x-2\right)+15\left(x+3\right)-12\left(x+4\right)}{60}=15\)
বা, 20x-40+15x+45-12x-48=900
বা, 23x-43=900
বা, 23x=900+43
বা, x=\(\frac{943}{23}\)
∴ x=41
∴ নির্ণেয় সমাধান, x=41
0 Comments