3. ভেদ (Variation) | কষে দেখি 13 | Exercise 13 | Part 3 | Ganit Prakash Class X math solution | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
👉Exercise 13 Part 3 ( Q10 Q15 )
Exercise 13 Part 3 (Q10 to Q15) Solution
10. y দুটি চলের সমষ্টির সমান, যার একটি x চলের সঙ্গে সরলভেদে এবং অন্যটি x চলের সঙ্গে ব্যস্তভেদে আছে। x=1 হলে y=-1 এবং x=3 হলে y=5; x ও y এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, y=A+B যেখানে, A∝x এবং \(B∝\frac{1}{x}\)
∴ \(A=k_1 x\) এবং \(B=\frac{k_2}{x}\)
যেখানে, \(k_1\) এবং \(k_2\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
∴ \(y=k_1 x+\frac{k_2}{x}\) (1)
(1) নং সমীকরণে x=1 এবং y= -1 বসিয়ে পাই,
\(-1=k_1.1+\frac{k_2}{1}\)
বা, \(k_1+k_2=-1\) (2)
(1) নং সমীকরণে x=3 এবং y=5 বসিয়ে পাই,
\(5=k_1.3+\frac{k_2}{3}\)
বা, \(5=\frac{9k_1+k_2}{3}\)
বা, \(9k_1+k_2=15\) (3)
(3) - (2) করে পাই,
\(k_1+k_2-(9k_1+k_2)=-1-15\)
বা, \(-8k_1=-16\)
∴ \(k_1=2\)
(2) নং সমীকরণে \(k_1=2\) বসিয়ে পাই,
\(2+k_2=-1\)
বা, \(k_2=-1-2\)
∴ \(k_2=-3\)
(1) নং সমীকরণে \(k_1=2\) এবং \(k_2=-3\) এর মান বসিয়ে পাই,
\(y=2x-\frac{3}{x}\), ইহাই হল নির্ণেয় সম্পর্ক।
11. a∝b,b∝c হলে দেখাই যে,
\(a^3 b^3+b^3 c^3+c^3 a^3∝abc(a^3+b^3+c^3)\)
সমাধানঃ
a∝b এবং b∝c
∴ \(a=k_1 b\) এবং \(b=k_2 c\), যেখানে, \(k_1\) এবং \(k_2\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
∴ \(a=k_1 k_2 c\)
\(\frac{a^3 b^3+b^3 c^3+c^3 a^3}{abc(a^3+b^3+c^3})\)
\(=\frac{k_1^3 k_2^3 c^3.k_2^3 c^3+k_2^3 c^3. c^3+c^3.k_1^3 k_2^3 c^3}{k_1 k_2 c.k_2c.c(k_1^3 k_2^3 c^3 + k_2^3 c^3 + c^3)}\)
\(=\frac{c^6 k_2^3(k_1^3 k_2^3 + 1 + k_1^3)}{c^6 k_1 k_2^2(k_1^3 k_2^3 + k_2^3 + 1)}\)
\(=\frac{k_2}{k_1}=m\)
যেখানে, \(m=\frac{k_2}{k_1}=\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
∴ \((a^3 b^3 + b^3 c^3 + c^3 a^3)=mabc(a^3+b^3+c^3)\)
∴ \((a^3 b^3 + b^3 c^3 + c^3 a^3)\propto abc(a^3+b^3+c^3)\)
\(=\frac{c^6 k_2^3(k_1^3 k_2^3 + 1 + k_1^3)}{c^6 k_1 k_2^2(k_1^3 k_2^3 + k_2^3 + 1)}\)
\(=\frac{k_2}{k_1}=m\)
যেখানে, \(m=\frac{k_2}{k_1}=\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
∴ \((a^3 b^3 + b^3 c^3 + c^3 a^3)=mabc(a^3+b^3+c^3)\)
∴ \((a^3 b^3 + b^3 c^3 + c^3 a^3)\propto abc(a^3+b^3+c^3)\)
12. x ডেসিমিটার গভীর একটি কূপ খনন করার জন্য মোট ব্যয়ের এক অংশে x এর সঙ্গে সরলভেদে এবং অপর অংশে \(x^2\) এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়। যদি 100 ডেসিমিটার এবং 200 ডেসিমিটার কূপ খনন করার জন্য যথাক্রমে 5000 টাকা এবং 12000 টাকা ব্যয় হয়, তবে 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য কত ব্যয় হবে হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, মোট ব্যয় হয়েছিল y টাকা। মোট ব্যয়ের A অংশ x এর সঙ্গে সরলভেদে এবং B অংশ \(x^2\) এর সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।
∴ y=A+B যেখানে, A∝x এবং \(B∝x^2\)
∴ \(A=k_1 x\) এবং \(B=k_2 x^2\)
যেখানে, \(k_1\) এবং \(k_2\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
∴ \(y=k_1 x+k_2 x^2\)
বা, \(y=x(k_1+k_2 x)\) (1)
(1) নং সমীকরণে x=100 এবং y=5000 বসিয়ে পাই,
\(5000=100(k_1+100k_2)\)
বা, \(k_1+100k_2=50\)
বা, \(k_1=50-100k_2\) (2)
(1) নং সমীকরণে x=200 এবং y=12000 বসিয়ে পাই,
\(12000=200(k_1+200k_2)\)
বা, \(k_1+200k_2=60\)
বা, \(k_1=60-200k_2\) (3)
(2) নং ও (3) নং সমীকরণদ্বয় তুলনা করে পাই,
\(50-100k_2=60-200k_2\)
বা, \(200k_2-100k_2=60-50\)
বা, \(100k_2=10\)
বা, \(k_2=\frac{10}{100}\)
∴ \(k_2=\frac{1}{10}\)
(2) নং সমীকরণে \(k_2\) এর মান বসিয়ে পাই,
\(k_1=50-\frac{100}{10}\)
বা, \(k_1=50-10\)
∴ \(k_1=40\)
(1) নং সমীকরণে \(k_1\) ও \(k_2\) এর মান বসিয়ে পাই,
\(y=x(40+\frac{x}{10})\)
যখন x=250,
\(y=250(40+\frac{250}{10})\)
বা, y=250(40+25)
বা, y=250×65
∴ y=16250
∴ 250 ডেসিমিটার গভীর কূপ খননের জন্য 16250 টাকা ব্যয় হবে।
13. চোঙের আয়তন, ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের এবং উচ্চতার সঙ্গে যৌগিক ভেদে আছে। দুটি চোঙের ভূমির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের অনুপাত 2:3 এবং তাদের উচ্চতার অনুপাত 5:4 হলে, ওদের আয়তনের অনুপাত নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, চোঙের আয়তন v, ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য r এবং উচ্চতা h
সুতরাং, \(v∝r^2 h\)
∴ \(v=kr^2 h\) [যেখানে, k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
ধরি, চোঙ দুটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 2r একক ও 3r একক
এবং উচ্চতা যথাক্রমে 5h একক এবং 4h একক
∴ প্রথম চোঙটির আয়তন \(=k(2r)^2.5h\) ঘনএকক
\(=20kr^2 h\) ঘনএকক
এবং দ্বিতীয় চোঙটির আয়তন \(=k(3r)^2.4h\) ঘনএকক
\(=36kr^2 h\) ঘনএকক
∴ চোঙদুটির আয়তনের অনুপাত
\(=20kr^2 h:36kr^2 h\)
=20:36
=5:9
14. পাঁচলা গ্রামের কৃষি সমবায় সমিতি একটি ট্রাক্টর ক্রয় করেছে। আগে সমিতির 2400 বিঘা জমি 25 টি লাঙল দিয়ে চাষ করতে 36 দিন সময় লাগত। এখন অর্ধেক জমি কেবল ট্রাক্টরটি দিয়ে 30 দিনে চাষ করা যায়। একটি ট্রাক্টর কয়টি লাঙলের সমান চাষ করে তা ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, লাঙলের সংখ্যা = A, জমির পরিমাণ = B
এবং দিনের সংখ্যা = C
যেহেতু, দিনসংখ্যা একই থাকলে লাঙলের সংখ্যা বৃদ্ধি(হ্রাস) পেলে বৃদ্ধি(হ্রাস) পায়।
∴ A এবং B সরল ভেদে আছে। ∴ A∝B
আবার যেহেতু, জমির পরিমাণ একই থাকলে লাঙলের সংখ্যা বৃদ্ধি(হ্রাস) পেলে দিনসংখ্যা হ্রাস (বৃদ্ধি) পায়।
∴ A এবং C সরল ভেদে আছে। ∴ \(A∝\frac{1}{C}\)
∴ যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে, \(A∝\frac{B}{C}\)
∴ \(A=\frac{k.B}{C}\) [যেখানে, k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক] (I)
প্রদত্ত A=25,B=2400 এবং C=36
(I) নং থেকে পাই, \(25=\frac{k.2400}{36}\)
∴ \(k=\frac{25×36}{2400}=\frac{3}{8}\)
(I) নং সমীকরণে k এর মান বসিয়ে পাই,
\(A=\frac{3B}{8C}\) (II)
আবার \(B=\frac{2400}{2}=1200\) এবং C=30 হলে,
(II) নং থেকে পাই, \(A=\frac{3×1200}{8×30}\)
∴ A=15
∴ একটি ট্রাক্টর 15 টি লাঙলের সমান চাষ করে।
15. গোলকের আয়তন তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয় এবং গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের বর্গের সঙ্গে সরলভেদে পরিবর্তিত হয়।
প্রমাণ করি যে, গোলকের আয়তনের বর্গ তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফলের ঘনের সঙ্গে সরলভেদে থাকবে।
সমাধানঃ
ধরি, গোলকের আয়তন = V, ব্যাসার্ধ = R
এবং পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = S
∴ \(V∝R^3\) এবং \(S∝R^2\)
সুতরাং, \(V=k_1 R^3\) এবং \(S=k_2 R^2\)
যেখানে, \(k_1\) ও \(k_2\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক।
∴ \(\frac{V^2}{S^3}=\frac{(k_1 R^3)^2 }{(k_2 R^2)^3}=\frac{k_1^2 R^6}{k_2^3 R^6}=\frac{k_1^2}{k_2^3}=m\)
যেখানে, \(m=\frac{k_1^2}{k_2^3}\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক।
∴ \(V^2∝S^3\) [প্রমাণিত]
👉Exercise 13 Part 3 ( Q10 Q15 )
 | WBBSE Board Class 10 Math Solution | Part 3(Q10 to Q15)){kind=link}
0 Comments