13. ভেদ(Variation) | Exercise 13 | Part 2 | Ganit Prakash Class X math solution | WBBSE Class 10 Math Solution in Bengali
👉Exercise 13 Part 2 ( Q5 to Q9 )
Exercise 13 Part 2 (Q5 to Q9) Solution
5. (i) x∝y হলে, দেখাই যে, x+y∝x-y
সমাধানঃ
x∝y সুতরাং, x=ky, যেখানে k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক।
∴ \(\frac{x+y}{x-y}=\frac{ky+y}{ky-y}=\frac{y(k+1)}{y(k-1)}=\frac{(k+1)}{(k-1)}=n\)
[যেখানে, n=\(\frac{(k+1)}{(k-1)}\)=অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ x+y=n(x-y)
∴ x+y∝x-y
5. (ii) \(A∝\frac{1}{C},C∝\frac{1}{B}\) হলে, দেখাই যে, A∝B
সমাধানঃ
A∝\(\frac{1}{C}\) সুতরাং, A=\(\frac{k_1}{C}\)
C∝\(\frac{1}{B}\) সুতরাং, C=\(\frac{k_2}{B}\)
[যেখানে, \(k_1\) এবং \(k_2\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ \(A=\frac{k_1}{C}=\frac{k_1}{\frac{k_2}{B}}=\frac{k_1}{k_2}B=mB\)
[যেখানে, \(m=\frac{k _1}{k _2}\) = অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ A∝B
5. (iii) যদি a∝b,\(b∝\frac{1}{c}\) এবং c∝d হয়, তবে a ও d এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
a∝b সুতরাং, a=\(k_1\)b [যেখানে, \(k_1\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক]
\(b∝\frac{1}{c}\) সুতরাং, \(b=\frac{k_2}{c}\) [যেখানে, \(k_2\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক]
c∝d সুতরাং, c=\(k_3\)d [যেখানে, \(k_3\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক]
∴ \(a=k_1 b=k_1×\frac{k_2}{c}=k_1×\frac{k_2}{k_3 d}\)
বা, a=\(\frac{k_1 k_2}{k_3 d}\)
বা, a=m.\(\frac{1}{d}\) যেখানে, m=\(\frac{k_1 k_2}{k_3}\) = অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
∴ a∝\(\frac{1}{d}\)
5. (iv) x∝y,y∝z এবং z∝x হলে, ভেদ ধ্রুবক তিনটির মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
x∝y, y∝z এবং z∝x
সুতরাং, x=\(k_1\)y (I)
y=\(k_2\)z (II)
z=\(k_3\)x (III)
যেখানে \(k_1,k_2\) ও \(k_3\) অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
(I)×(II)×(III) করে পাই,
\(x×y×z=k_1 y×k_2 z×k_3x\)
বা, \(xyz=k_1 k_2 k_3\times xyz\)
বা, \(1=k_1 k_2 k_3\)
∴ \(k_1 k_2 k_3=1\)
∴ ভেদ ধ্রুবক তিনটির গুনফল =1
6. x+y∝x-y হলে, দেখাই যে,
(i) \(x^2+y^2∝xy\)
সমাধানঃ
x+y∝x-y
সুতরাং, x+y=k(x-y) , যেখানে k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
বা, \(\frac{x+y}{x-y}=k\)
বা, \(\frac{x+y+x-y}{x+y-x+y}=\frac{k+1}{k-1}\) [যোগ ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]
বা, \(\frac{2x}{2y}=\frac{k+1}{k-1}\)
বা, \(\frac{x}{y}=n\), যেখানে \(n=\frac{k+1}{k-1}\) = অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
∴ x=ny
\(\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{n^2 y^2+y^2}{ny.y}=\frac{y^2(n^2+1)}{ny^2}=\frac{n^2+1}{n}=p\)
যেখানে, \(p=\frac{(n^2+1)}{n}\)=অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
∴ \(x^2+y^2=pxy\)
∴ \(x^2+y^2\propto xy\)
6. x+y∝x-y হলে, দেখাই যে,
(ii) \(x^3+y^3∝x^3-y^3\)
সমাধানঃ
x+y∝x-y
সুতরাং, x+y=k(x-y) যেখানে k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক।
বা, \(\frac{x+y}{x-y}=k\)
বা, \(\frac{x+y+x-y}{x+y-x+y}=\frac{k+1}{k-1}\) [যোগ ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]
বা, \(\frac{2x}{2y}=\frac{k+1}{k-1}\)
বা, \(\frac{x}{y}=n\), যেখানে \(n=\frac{k+1}{k-1}\) = অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক"
∴ x=ny
\(\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}\)
\(=\frac{n^3 y^3+y^3}{n^3 y^3-y^3}\)
\(=\frac{y^3(n^3+1)}{y^3(n^3-1)}\)
\(=\frac{n^3+1}{n^3-1}=p\)
যেখানে, \(p=\frac{n^3+1}{n^3-1}\) = অশূণ্য ভেদ ধ্রুব ক
∴ \(x^3+y^3 )=p(x^3-y^3)\)
∴ \((x^3+y^3 )∝(x^3-y^3)\)
6. x+y∝x-y হলে, দেখাই যে,
(iii) ax+by∝px+qy [যেখানে a,b,p,q অশূণ্য ধ্রুবক]
সমাধানঃ
x+y∝x-y
সুতরাং, x+y=k(x-y) , যেখানে k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
বা, \(\frac{x+y}{x-y}=k\)
বা, \(\frac{x+y+x-y}{x+y-x+y}=\frac{k+1}{k-1}\) [যোগ ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]
বা, \(\frac{2x}{2y}=\frac{k+1}{k-1}\)
বা, \(\frac{x}{y}=n\), যেখানে \(n=\frac{k+1}{k-1}\) = অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
∴ x=ny
\(\frac{ax+by}{px+qy}=\frac{a.ny+by}{p.ny+qy}\)
=(=\(\frac{y(an+b)}{y(pn+q)}=\frac{an+b}{pn+q}=m\)
যেখানে, \(m=\frac{an+b}{pn+q}\) = অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক।
∴ ax+by=m(px+qy)
∴ ax+by∝px+qy
7. (i) \(a^2+b^2∝ab\) হলে, প্রমাণ করি যে, a+b∝a-b
সমাধানঃ
\(a^2+b^2∝ab\)
সুতরাং, \(a^2+b^2=k.ab\), যেখানে k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
\(\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}=\frac{a^2+2ab+b^2}{a^2-2ab+b^2}\)
=\(\frac{a^2+b^2+2ab}{a^2+b^2-2ab}\)
=\(\frac{kab+2ab}{kab-2ab}\)
=\(\frac{ab(k+2)}{ab(k-2)}\)
=\(\frac{k+2}{k-2}\)
বা, \(\frac{a+b}{a-b}=\sqrt{\frac{k+2}{k-2}}\)
যেখানে \(n=\sqrt{\frac{k+2}{k-2}}\) = অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
বা, (a+b) = n(a-b)
∴ a+b∝a-b
7. (ii) \(x^3+y^3∝x^3-y^3\) হলে, প্রমাণ করি যে, x+y∝x-y
সমাধানঃ
\(x^3+y^3\propto x^3-y^3\)
∴ \(x^3+y^3=k(x^3-y^3)\) যেখানে, k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক
বা, \(\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}=k\)
বা, \(\frac{x^3+y^3+x^3-y^3}{x^3+y^3-x^3+y^3}=\frac{k+1}{k-1}\) [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]
বা, \(\frac{2x^3}{2y^3}=\frac{k+1}{k-1}\)
বা, \((\frac{x}{y})^3=\frac{k+1}{k-1}\)
বা, \(\frac{x}{y}=(\frac{k+1}{k-1})^\frac{1}{3}=n\)
যেখানে, \(n=(\frac{k+1}{k-1})^\frac{1}{3}\) = অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক।
বা, \(\frac{x+y}{x-y}=\frac{n+1}{n-1}\) [যোগ-ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে পাই]
=m
যেখানে, \(m=\frac{n+1}{n-1})^\frac{1}{3}\) = অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক।
বা, (x+y) = m(x-y)
∴ x+y ∝ x-y
8. 15 জন কৃষক 5 দিনে 18 বিঘা জমি চাষ করতে পারেন। ভেদতত্ত্ব প্রয়োগ করে 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি কতদিনে চাষ করতে পারবেন তা নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, কৃষকের সংখ্যা = A, দিনের সংখ্যা = B
এবং জমির পরিমাণ = C
যেহেতু, জমির পরিমাণ স্থির থাকলে দিনের সংখ্যা কৃষকের সংখ্যার সঙ্গে ব্যাস্ত ভেদে থাকে।
∴ B∝\(\frac{1}{A}\) ,যখন C ধ্রুবক
আবার, যেহেতু, কৃষকের সংখ্যা স্থির থাকলে দিনের সংখ্যার সঙ্গে জমির পরিমাণ সরল ভেদে থাকে।
∴ B∝C, যখন A স্থির
∴ যৌগিক ভেদের উপপাদ্য অনুসারে,
\(B∝\frac{C}{A}\) ,যখন A ও C উভয়েই পরিবর্তনশীল
∴ \(B=k.\frac{C}{A}\) [যেখানে, k অশূণ্য ভেদ ধ্রুবক ] (I)
প্রদত্ত, A=15,B=5 এবং C=18
(I) নং থেকে পাই, \(5=k.\frac{18}{15}\)
বা, \(k=\frac{15×5}{18}\)
∴ \(k=\frac{25}{6}\)
(I) নং সমীকরণে k এর মান বসিয়ে পাই, \(B=\frac{25C}{6A}\) (II)
A=10 এবং C=12 হলে, (II) নং থেকে পাই,
\(B=\frac{25×12}{6×10}=5\)
∴ 10 জন কৃষক 12 বিঘা জমি 5 দিনে চাষ করতে পারবেন।
9. গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে আছে। \(1 \frac{1}{2}\), 2 এবং \(2 \frac{1}{2}\) মিটার দৈর্ঘ্যের ব্যাসবিশিষ্ট তিনটি নিরেট গোলককে গলিয়ে একটি নিরেট গোলক বানানো হলো। নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। (ধরি, গলানোর আগে ও পরে আয়তন একই থাকে)
সমাধানঃ
ধরি, গোলকের ব্যাসার্ধ =r এবং আয়তন =v
গোলকের আয়তন গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্যের ত্রিঘাতের সঙ্গে সরলভেদে আছে। সুতরাং, \(v∝r^3\)
∴ \(v=kr^3\) [যেখানে, k অশূন্য ভেদ ধ্রুবক]
প্রথম গোলকের ব্যাস = 1 \(\frac{1}{2}\) মিটার = \(\frac{3}{2}\) মিটার
∴ প্রথম গোলকের ব্যাসার্ধ = \(\frac{3}{4}\) মিটার
∴ প্রথম গোলকের আয়তন
= \(k\times(\frac{3}{4})^3\) ঘনমিটার = \(\frac{27k}{64}\) ঘনমিটার
দ্বিতীয় গোলকের ব্যাসার্ধ =\(\frac{2}{2}\) মিটার = 1 মিটার
∴ দ্বিতীয় গোলকের আয়তন
= \(k×1^3\) ঘনমিটার =k ঘনমিটার
তৃতীয় গোলকের ব্যাসার্ধ = \(\frac{5}{4}\) মিটার
∴ তৃতীয় গোলকের আয়তন
= \(k×(\frac{5}{4})^3\) ঘনমিটার = \(\frac{125k}{64}\) ঘনমিটার
∴ তিনটি গোলকের মোট আয়তন
= \((\frac{27k}{64}+k+\frac{125k}{64})\) ঘনমিটার
= \(\frac{27k+64k+125k}{64}\) ঘনমিটার
= \(\frac{216k}{64}\) ঘনমিটার
নতুন গোলকের ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য R মিটার হলে
নতুন গোলকের আয়তন = \(kR^3\) ঘনমিটার
শর্তানুসারে,
\(kR^3=\frac{216k}{64}\)
বা, \(R^3=(\frac{6}{4})^3\)
∴ R = 1.5
∴ নতুন গোলকের ব্যাসের দৈর্ঘ্য = 2×1.5 মিটার = 3 মিটার
👉Exercise 13 Part 2 ( Q5 to Q9 )
 | WBBSE Board Class 10 Math Solution | Part 2 (Q5 to Q9)){kind=link}
0 Comments