দ্বিঘাত করণী । কষে দেখি 9.1 সমাধান
1. মূলদ ও অমূলদ সংখ্যার গুনফল আকারে লিখি-
(i)\(\sqrt{175}\)
সমাধানঃ
\(\sqrt{175}\)
= \(\sqrt{5\times5\times7}\)
= \(5\sqrt7\)
(ii) \(2\sqrt{112}\)
সমাধানঃ
\(2\sqrt{112}\)
= \(2\sqrt{2\times2\times2\times2\times7}\)
= \(2\times2\times2\sqrt7\)
= \(8\sqrt7\)
(iii) \(\sqrt{108}\)
সমাধানঃ
\(\sqrt{108}\)
= \(\sqrt{2\times2\times3\times3\times3}\)
= \(2\times3\sqrt3\)
= \(6\sqrt3\)
(iv)\(\sqrt{125}\)
সমাধানঃ
\(\sqrt{125}\)
= \(\sqrt{5\times5\times5}\)
= \(5\sqrt5\)
(v) \(5\sqrt{119}\)
সমাধানঃ
\(5\sqrt{119}\)
= \(5\sqrt{7\times17}\)
= \(5\sqrt{119}\)
2. প্রমাণ করি যে, \(\sqrt{108}-\sqrt{75}=\sqrt3\)
সমাধানঃ
বামপক্ষ = \(\sqrt{108}-\sqrt{75}\)
= \(\sqrt{4\times9\times3}-\sqrt{25\times3}\)
= \(2\times3\sqrt3-5\sqrt3\)
= \(6\sqrt3-5\sqrt3\)
= \(\sqrt3\) = ডানপক্ষ
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
3. দেখাই যে, \(\sqrt{98}+\sqrt8-2\sqrt{32}=\sqrt2\)
সমাধানঃ
বামপক্ষ = \(\sqrt{98}+\sqrt8-2\sqrt{32}\)
= \(\sqrt{49\times2}+\sqrt{4\times2}-2\sqrt{16\times2}\)
= \(7\sqrt2+2\sqrt2-2\times4\sqrt2\)
= \(9\sqrt2-8\sqrt2\)
= \(\sqrt2\)
= ডানপক্ষ
∴ বামপক্ষ = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
4. দেখাই যে, \(3\sqrt{48}-4\sqrt{75}+\sqrt{192}=0\)
সমাধানঃ
\(3\sqrt{48}-4\sqrt{75}+\sqrt{192}\)
= \(3\sqrt{16\times3}-4\sqrt{25\times3}+\sqrt{64\times3}\)
= \(3\times4\sqrt3-4\times5\sqrt3+8\sqrt3\)
= \(12\sqrt3-20\sqrt3+8\sqrt3\)
= 0 [প্রমাণিত]
5. সরলতম মান নির্ণয় করিঃ \(\sqrt{12}+\sqrt{18}+\sqrt{27}-\sqrt{32}\)
সমাধানঃ
\(\sqrt{12}+\sqrt{18}+\sqrt{27}-\sqrt{32}\)
= \(\sqrt{4\times3}+\sqrt{9\times2}+\sqrt{9\times3}-\sqrt{16\times2}\)
= \(2\sqrt3+3\sqrt2+3\sqrt3-4\sqrt2\)
= \(5\sqrt3-\sqrt2\)
6. (a) \(\sqrt5+\sqrt3\) –এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল \(2\sqrt5\) হবে, হিসাব করে লিখি।
সমাধানঃ
ধরি, \(\sqrt5+\sqrt3\) –এর সঙ্গে x যোগ করলে যোগফল \(2\sqrt5\) হবে।
শর্তানুসারে,
\(\sqrt5+\sqrt3+x=2\sqrt5\)
বা, \(x=2\sqrt5-\sqrt5-\sqrt3\)
∴ \(x=\sqrt5-\sqrt3\)
∴ \(\sqrt5+\sqrt3\) –এর সঙ্গে \(\sqrt5-\sqrt3\) যোগ করলে যোগফল \(2\sqrt5\) হবে।
6. (b) \(7-\sqrt3\) –এর সঙ্গে কত বিয়োগ করলে বিয়োগফল \(3+\sqrt3\) হবে, নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
ধরি, \(7-\sqrt3\) এর সঙ্গে x বিয়োগ করলে বিয়োগফল \(3+\sqrt3\) হবে।
শর্তানুসারে,
\(7-\sqrt3 –x= 3+\sqrt3\)
বা, \(-x= 3+\sqrt3-7+\sqrt3\)
বা, \(-x= 2\sqrt3-4\)
বা, \(-x= -(4-2\sqrt3)\)
∴ \(x= 4-2\sqrt3\)
∴ \(7-\sqrt3\) এর সঙ্গে \(4-2\sqrt3\) বিয়োগ করলে বিয়োগফল \(3+\sqrt3\) হবে।
6. (c) \(2+\sqrt3, \sqrt3+\sqrt5\) এবং \(2+\sqrt7\) –এর যোগফল লিখি।
সমাধানঃ
\(2+\sqrt3, \sqrt3+\sqrt5\) এবং \(2+\sqrt7\) –এর যোগফল
= \(\left(2+\sqrt3\right)+\left(\sqrt3+\sqrt5\right)+\ \left(2+\sqrt7\right)\)
= \(2+\sqrt3+\sqrt3+\sqrt5+2+\sqrt7\)
= \(4+2\sqrt3+\sqrt5+\sqrt7\)
6. (d) \((10-\sqrt{11})\) থেকে \((-5+3\sqrt{11})\) বিয়োগ করি ও বিয়োগফল লিখি।
সমাধানঃ
\((10-\sqrt{11})-(-5+3\sqrt{11})\)
= \(10-\sqrt{11}+5-3\sqrt{11}\)
= \(15-4\sqrt{11}\)
∴ \((10-\sqrt{11})\) থেকে \((-5+3\sqrt{11})\) বিয়োগ করলে বিয়োগফল
হবে \(15-4\sqrt{11}\)
6. (e) \((-5+\sqrt7)\) এবং \(\sqrt7+\sqrt2\) এর যোগফল থেকে
\((5+\sqrt2+\sqrt7)\) বিয়োগ করে বিয়োগফল নির্ণয় করি।
সমাধানঃ
\((-5+\sqrt7) এবং \sqrt7+\sqrt2\) এর যোগফল
= \((-5+\sqrt7)+\left(\sqrt7+\sqrt2\right)\)
= \(-5+\sqrt7+\sqrt7+\sqrt2\)
= \(-5+2\sqrt7+\sqrt2\)
∴ \(\left(-5+2\sqrt7+\sqrt2\right)-(5+\sqrt2+\sqrt7)\)
= \(-5+2\sqrt7+\sqrt2-5-\sqrt2-\sqrt7\)
= \(\sqrt7-10\)
6. (f) দুটি দ্বিঘাত করণী লিখি যাদের সমষ্টি মূলদ সংখ্যা।
সমাধানঃ
ধরি, দুটি দ্বিঘাত করণী \(5+\sqrt3\) এবং \(5-\sqrt3\)
∴ \(5+\sqrt3\) এবং \(5-\sqrt3\) দ্বিঘাত করণী দুটির সমষ্টি
= \(5+\sqrt3 + 5-\sqrt3\)
= 10, যেখানে 10 একটি মূলদ সংখ্যা
0 Comments