1. দুটি ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যার অন্তর 3 এবং তাদের বর্গের সমষ্টি 117; সংখ্যা দুটি হিসাব করে লিখি।
উত্তরঃ
দুটি ধনাত্মক
অখন্ড সংখ্যা হল x এবং x+3
শর্তানুসারে,
x2+(x+3)2=117
বা, x2+x2+6x+9=117
বা, 2x2+6x+9-117=0
বা, 2x2+6x-108=0
বা, 2(x2+3x-54)=0
বা, x2+9x-6x-54=0
বা, x(x+9)-6(x+9)=0
বা, (x+9)( x-6)=0
হয় x+9=0 ∴ x=-9
অথবা x-6=0 ∴ x=6
কিন্তু এখানে x=-9 হতে পারে না। কারণ সংখ্যা দুটি ধনাত্মক অখন্ড সংখ্যা
∴ x=6
∴ সংখ্যা দুটি হল 6 এবং (6+3)=9
উত্তরঃ
ধরি,
ত্রিভুজের উচ্চতা x মিটার
∴ ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য (2x+18) মিটার
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \({1 \over 2} \times 2\)
(2x+18) \( \times x\) বর্গমিটার
= \({1 \over 2} \times 2\)(x+9) \( \times x\) বর্গমিটার=x(x+9)
বর্গমিটার
শর্তানুসারে,
x(x+9)=360
বা, x2+9x-360=0
বা, x2+24x-15x-360=0
বা, x(x+24)-15(x+24)=0
বা, (x+24)(x-15)=0
হয়,x+24=0 ∴ x=-24
অথবা, x-15=0
কিন্তু এখানে x=-24 হতে পারে না
কারণ ত্রিভুজের উচ্চতা কখনও ঋণাত্মক হতে পারে
না।
∴ x=15
∴ ত্রিভুজটির উচ্চতা
15 মিটার।
উত্তরঃ
ধরি, অখন্ড ধনাত্মক সংখ্যাটি হল x
শর্তানুসারে,
5x=2x2-3
বা, 2x2-3=5x
বা, 2x2-5x-3=0
বা, 2x2-6x+x-3=0
বা,
2x(x-3)+1(x-3)=0
বা,
(x-3)(2x+1)=0
হয় x-3=0 ∴ x=3
অথবা, 2x+1=0 ∴ \(x=-{1 \over 2}\)
কিন্তু এখানে \(x=-{1 \over 2}\) হতে পারে না।
কারণ
সংখ্যাটি ধনাত্মক সংখ্যা। ∴ x=3
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হল 34. দুটি স্থানের মধ্যে দূরত্ব 200 কিমি.; এক স্থান হতে অপর স্থানে মোটর গাড়িতে যেতে যে সময় লাগে জিপগাড়িতে যেতে তার চেয়ে 2 ঘন্টা সময় কম লাগে। মোটর গাড়ি অপেক্ষা জিপগাড়ির গতিবেগ ঘন্টায় 5 কিমি. বেশি হলে, মোটর গাড়ির গতিবেগ হিসাব করে লিখি।
উত্তরঃ
ধরি, মোটরগাড়ির গতিবেগ x কিমি./ঘন্টা
∴ জিপগাড়ির গতিবেগ
(x+5) কিমি./ঘন্টা
শর্তানুসারে,
\({200 \over x} - { 200 \over (x+5)}=2\)
বা, \({{200(x+5)-200x} \over x(x+5)} =2\)
বা, \({{200x+1000-200x} \over {x^2+5x}} =2\)
বা, 2(x2+5x)=1000
বা, x2+5x=500
বা, x2+5x-500=0
বা, x2+25x-20x-500=0
বা, x(x+25)-20(x+25)=0
বা, (x+25)(x-20)=0
হয় x+25=0 ∴ x=-25
অথবা, x-20=0 ∴ x=20
কিন্তু এখানে
x=-25 হতে পারে না। কারণ গতিবেগের মান
ঋনাত্মক হতে পারে
না। ∴ x=20
∴ মোটর গাড়ির গতিবেগ 20
কিমি./ঘন্টা
5. অমিতাদের
আয়তক্ষেত্রাকার জমির ক্ষেত্রফল 2000 বর্গমিটার এবং পরিসীমা
180 মিটার। অমিতাদের
আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হিসাব করে লিখি।
উত্তরঃ
ধরি, আয়তকার জমির দৈর্ঘ্য x মিটার
∴ আয়তকার জমির প্রস্থ \({2000 \over x }\) মিটার
শর্তানুসারে,
\(2(x+{2000 \over x})=180\)
বা, \(x+{2000 \over x}={180 \over 2}\)
বা, \({{x^2+2000}\over x}=90\)
বা, x2+2000=90x
বা, x2-90x+2000=0
বা, x2-50x-40x+2000=0
বা, x(x-50)-40(x+50)=0
বা, (x-50)(x-40)=0
হয়, x-50=0 ∴ x=50
অথবা, x-40=0 ∴ x=40
কিন্তু, x=40 হতে পারে
না। কারণ x=40 হলে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য হবে 40 মিটার এবং প্রস্থ হবে 50 মিটার। কিন্তু আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য
প্রস্থ অপেক্ষা ছোটো হতে পারে না। ∴
x=50
∴ আয়তক্ষেত্রাকার জমির দৈর্ঘ্য 50 মিটার এবং প্রস্থ \({2000 \over 50}=40\) মিটার
6. দুই অঙ্কের একটি সংখ্যার দশকের ঘরের অঙ্ক এককের ঘরের অঙ্ক অপেক্ষা 3 কম। সংখ্যাটি থেকে উহার অঙ্ক দুটির গুনফল বিয়োগ করলে বিয়োগফল 15 হয়। সংখ্যাটির একক ঘরের অঙ্ক হিসাব করে লিখি।
উত্তরঃ
ধরি,
এককের ঘরের অঙ্কটি হল x
∴ দশকের ঘরের অঙ্কটি হল (x-3)
∴ সংখ্যাটি হবে 10(x-3)+x
=10x-30+x=11x-30
শর্তানুসারে,
(11x-30)-x(x-3)=15
বা, 11x-30- x2+3x=15
বা, -x2+14x-30-15=0
বা, -x2+14x-45=0
বা, -(x2-14x+45)=0
বা, x2-14x+45=0
বা, x2-5x-9x+45=0
বা, x(x-5)-9(x-5)=0
বা, (x-5)(x-9)=0
হয় x-5=0 ∴ x=5
অথবা x-9=0 ∴ x=9
∴ এককের ঘরের অঙ্কটি
হবে 5 অথবা 9
7. আমাদের
স্কুলের চৌবাচ্চায় দুটি নল আছে। নল দুটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি \(11{1 \over 9}\)
উত্তরঃ
ধরি,
প্রথম নলটি চৌবাচ্চাটিকে পূর্ণ করে x মিনিটে
∴ অপর
নলটি চৌবাচ্চাটিকে পূর্ণ করে (x+5) মিনিটে।
প্রথম নলটি 1 মিনিটে পূর্ণ করে \({1 \over x}\)
অপর নলটি 1 মিনিটে পূর্ণ করে \({1 \over (x+5)}\) অংশ
নল
দুটি একত্রে 1 মিনিটে পূর্ণ করে
অংশ = \({1 \over x}+{1 \over (x+5)}\) অংশ
= \({{x+5+x} \over x(x+5)}\) অংশ
= \({{2x+5} \over {x^2+5x}}\) অংশ
নল
দুটি একত্রে সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ করে \({{x^2+5x} \over {2x+5}}\) মিনিটে
শর্তানুসারে,
\({{x^2+5x} \over {2x+5}}=11{1 \over 9}\)
বা, \({{x^2+5x} \over {2x+5}}={100 \over 9}\)
বা, 9x2+45x=200x+500
বা, 9x2+45x-200x-500=0
বা, 9x2-155x-500=0
বা, 9x2-180x+25x-500=0
বা, 9x(x-20)+25(x-20)=0
বা, (x-20)(9x+25)=0
হয় x-20=0 ∴ x=20
অথবা
9x+25=0 ∴ \(x=-{25 \over 9}\)
কিন্তু \(x=-{25 \over 9}\) হতে পারে না।
যেহেতু,
সময় ঋনাত্মক হতে পারে না। ∴ x=20
∴ প্রথম
নলটি চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করবে 20 মিনিটে
এবং অপর নলটি চৌবাচ্চটি পূর্ণ করবে (20+5)
মিনিটে = 25 মিনিটে
8. পর্ণা ও পীযূষ কোনো একটি কাজ একত্রে 4 দিনে সম্পন্ন করে। আলাদাভাবে একা কাজ করলে পর্ণার যে সময় লাগবে, পীযূষের তার চেয়ে 6 দিন বেশি সময় লাগবে। পর্ণা একাকী কতদিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে হিসাব করে
লিখি।
উত্তরঃ
ধরি, পর্ণা একা কাজটি x দিনে সম্পন্ন
করে।
∴ পীযূষ একা কাজটি (x+6) দিনে সম্পন্ন করবে।
পর্ণা একদিনে করে কাজটির \({1 \over x}\)
পীযূষ একদিনে করে কাজটির \({1 \over (x+6)}\) অংশ
পর্ণা ও পীযূষ একত্রে একদিনে করে
= \({1 \over x}+{1 \over (x+6)}\) অংশ
= \({{x+6+x} \over x(x+6)}\) অংশ
= \({{2x+6} \over {x^2+6x}}\) অংশ
∴ পর্ণা ও পীযূষ দুজনে সম্পূর্ণ কাজটি করবে \({{x^2+6x} \over {2x+6}}\) দিনে
শর্তানুসারে,
\({{x^2+6x} \over {2x+6}}=4\)
বা, x2+6x=8x+24
বা, x2+6x-8x-24=0
বা, x2-2x-24=0
বা, x2-6x+4x-24=0
বা, x(x-6)+4(x-6)=0
বা, (x-6)(x+4)=0
হয়
x-6=0 ∴ x=6
অথবা, x+4=0 ∴ x=-4
কিন্তু, x=-4 হতে পারে না।
কারণ
সময় কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না ∴ x=6
∴ পর্ণা
একাকী 6 দিনে কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে।
9. কলমের মূল্য প্রতি ডজনে 6 টাকা কমলে 30 টাকায় আরও 3 টি বেশি কলম পাওয়া যায়। কমার পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য নির্ণয় করো।
উত্তরঃ
ধরি,
পূর্বে প্রতি ডজন কলমের মূল্য ছিল x টাকা
পূর্বে x টাকায় কলম পাওয়া যেত 12 টি
∴ পূর্বে
30 টাকায় কলম
পাওয়া যেত \({12 \over x}\times 30\)
কলমের
মূল্য প্রতি
ডজনে
6 টাকা কমলে প্রতি ডজন কলমের মূল্য
হবে (x-6) টাকা
বর্তমানে
x টাকায় কলম পাওয়া যায় (x-6) টি
বর্তমানে
30 টাকায় কলম পাওয়া যায় \({12 \over (x-6)}\times 30\)
শর্তানুসারে,
\({12 \over (x-6)} \times 30-{12 \over x}\times 30=3\)
বা, \({360 \over (x-6)}-{360\over x}=3\)
বা, \({{360x-360(x-6)} \over x(x-6)}=3\)
বা, \({{360x-360x+2160}\over {x^2-6x}}=3\)
বা, \({{2160}\over {x^2-6x}}=3\)
বা, 3(x2-6x)=2160
বা, 3x2-18x-2160=0
বা, 3(x2-6x-720)=0
বা, x2-30x+24x-720=0
বা, x(x-30)+24(x-30)=0
বা, (x-30)(x+24)=0
হয় x-30=0 ∴ x=30
অথবা x+24=0 ∴ x=-24
কিন্তু
x=-24 হতে পারে না। কারণ কলমের মূল্য ঋণাত্মক হতে পারে না। ∴ x=30
∴ কমার পূর্বে প্রতি
ডজন কলমের মূল্য 30 টাকা
10A.
(i) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের বীজের সংখ্যা
(a)একটি
(b) দুটি
(c) তিনটি
(d)কোনটিই নয়
উত্তরঃ (b) দুটি
(ii) ax2+bx+c=0 দ্বিঘাত
সমীকরণ হলে
(a)b≠0
(b) c≠0
(c)
a≠0
(d) কোনটিই নয়
উত্তরঃ (c) a≠0
(iii) একটি দ্বিঘাত সমীকরণের চলের সর্বোচ্চ ঘাত
(a)1 (b) 2 (c)
3 (d) কোনটিই নয়
উত্তরঃ (b) 2
(iv) 4(5x2-7x+2)=5(4x2-6x+3)
সমীকরণটি
(a) রৈখিক
(b) দ্বিঘাত
(c) ত্রিঘাত
(d) কোনোটিই নয়
4(5x2-7x+2)=5(4x2-6x+3)
বা, 20x2-28x+8=20x2-30x+15
বা, 20x2-28x+8-20x2+30x-15=0
বা, 2x-7=0
উত্তরঃ (a) রৈখিক
(v) \({x^2 \over x}=6\) সমীকরণটির
বীজ/বীজদ্বয়
(a)0 (b) 6 (c)
0 ও 6 (d) -6
\({x^2 \over x}=6\)
বা, x=6
উত্তরঃ (b) 6
10B.
(i) (x-3)2=x2-6x+9
একটি দ্বিঘাত সমীকরণ
উত্তরঃ মিথ্যা
Note. ইহা একটি অভেদ তাই এটি কোনো সমীকরণ নয়।
(ii) x2=25 সমীকরণটির
একটি মাত্র বীজ 5
উত্তরঃ মিথ্যা
যেহেতু, x2=25 ∴ x=±5
10C.
(i) যদি ax2+bx+c=0 সমীকরণটির a=0
এবং b≠0 হয়, তবে সমীকরণটি একটি _______সমীকরণ।
a=0 হলে
0.x2+bx+c=0
বা, 0+bx+c=0
বা, bx+c=0
উত্তরঃ রৈখিক
(ii) যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই
1 হয়, তাহলে সমীকরণটি হল ___________।
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি বীজই 1 হলে, সেই সমীকরণটি হবে
(x-1)(x-1)=0
বা, (x-1)2=0
বা, x2-2x+1=0
উত্তরঃ x2-2x+1=0
(iii) x2=6x সমীকরণটির
বীজদ্বয় ______ ও ______
x2=6x
বা, x2-6x=0
বা, x(x-6)=0
হয়, x=0
অথবা,x-6=0 ∴ x=6
উত্তরঃ নির্ণেয় বীজদ্বয় 0 ও 6
11.
(i) x2+ax+3=0 সমীকরণটির
একটি বীজ 1 হলে, a এর মান নির্ণয় করি।
উত্তরঃ
x2+ax+3=0 সমীকরণটির একটি বীজ 1
∴ (1)2+a.1+3=0
বা, 1+a+3=0
বা, a+4=0
∴ a=-4
(ii) x2-(2+b)x+6=0
সমীকরণের একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
উত্তরঃ
x2-(2+b)x+6=0 সমীকরণের একটি বীজ 2
∴ (2)2-(2+b).2+6=0
বা, 4-4-2b+6=0
বা, -2b=-6
বা, 2b=6
∴ b=3
∴ সমীকরণটি হবে
x2-(2+3)x+6=0
বা, x2-2x-3x+6=0
বা, x(x-2)-3(x-2)=0
বা, (x-2)(x-3)=0
∴ x=2, 3
∴ সমীকরণটির অপর বীজটি হবে 3
(iii) 2x2+kx+4=0 সমীকরণের
একটি বীজ 2 হলে, অপর বীজটির মান লিখি।
উত্তরঃ
2x2+kx+4=0 সমীকরণের একটি বীজ 2
∴ 2.(2)2+k.2+4=0
বা, 8+2k+4=0
বা, 12+2k=0
বা, 2k=-12
∴ k=-6
∴ সমীকরণটি হবে
2x2-6x+4=0
বা, 2(x2-3x+2)=0
বা, x2-3x+2=0
বা, x2-2x-x+2=0
বা, x(x-2)-(x-2)=0
বা, (x-2)(x-1)=0
∴ x=2, 1
∴ সমীকরণটির অপর বীজটি হবে 1
(iv) একটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ও তার
অন্যোন্যকের অন্তর \({ 9 \over 20}\)
; সমীকরণটি
লিখি।
উত্তরঃ
ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটি হল x
∴ ভগ্নাংশটির অন্যোন্যক হল \({1 \over x}\)
শর্তানুসারে,
\({1 \over x}-x={9 \over 20}\)
∴ নির্ণেয় সমীকরণটি হল \({1 \over x}-x={9 \over 20}\)
(v) ax2+bx+35=0
সমীকরণের বীজদ্বয় -5 ও -7 হলে, a এবং b এর মান লিখি।
উত্তরঃ
ax2+bx+35=0 সমীকরণের বীজদ্বয় -5 ও -7
∴ a(-5)2+b(-5)+35=0
বা, 25a-5b+35=0
বা, 5(5a-b+7)=0
বা, 5a-b+7=0
বা, b=5a+7--------------(1)
আবার, a(-7)2+b(-7)+35=0
বা, 49a-7b+35=0--------------(2)
(2)নং সমীকরণে x এর পরিবর্তে 5a+7 বসিয়ে পাই,
49a-7(5a+7)+35=0
বা, 49a-35a-49+35=0
বা, 14a-14=0
বা, 14a=14
∴ a=1
(1)নং সমীকরণে a=1 বসিয়ে পাই,
b=5.1+7=12
∴ a=1 এবং b=12
0 Comments